joignons le point de contact au point , et, au point où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente ; menons enfin, par le point où la semi-droite donnée coupe la droite fixe , une semi-droite parallèle à .
correspond ainsi à , et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que correspond réciproquement à ; on dit que ces deux semi-droites sont réciproques.
Il résulte évidemment de ce qui précède que :
1o Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite que l’on appelle l’axe de transformation ;
2o Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.
10. Si, du point , on mène des tangentes au cycle , on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles-mêmes. Il y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes ; ces semi-droites font des angles égaux avec l’axe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point est extérieur au cycle .
11. Théorème. – Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.
Soient, en effet, l’axe de transformation, et deux semi-droites réciproques, une semi-droite quelconque du plan (fig. 4).
Construisons le cycle qui touche les semi-droites , et ; menons la droite qui joint les points de contact de et de , et désignons par le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée du point sur l’axe . Il est clair, d’après ce qui précède,