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valle déterminé, nous affecterons $\alpha$ d’un indice égal au rang de cet intervalle, cet indice pouvant être indifféremment $1,\,2,\,3,\ldots$ jusqu’à $m.$

Le nombre des manières différentes de distribuer les $m$ indices entre les $\mathrm {N}$ groupes, ou les groupes entre les intervalles est évidemment $m^{\mathrm {N} }.$ C’est là le nombre des cas possibles.

Si nous voulons la probabilité pour que, sur les $\mathrm {N} ,$ $n$ coups se produisent dans le premier intervalle, nous devons chercher le nombre des distributions dans lesquelles $n$ des symboles $\alpha ,\beta ,\ldots$ porteront l’indice $1,$ les autres indices étant différents de $1$ et d’ailleurs quelconques. Ceci nous donnera le nombre des cas favorables.

Les $n$ symboles portant l’indice $1$ dans une distribution formeront une des combinaisons $n$ à $n$ des $\mathrm {N}$ symboles différents. À cette combinaison particulière peuvent être associées toutes les distributions des $m-1$ indices restants entre les $\mathrm {N} -n$ autres symboles ; elles sont en nombre $(m-1)^{\mathrm {N} -n},$ et comme il y a ${\frac {\mathrm {N} !}{n!(\mathrm {N} -n)!}}$ combinaisons différentes, cela fait au total :

${\frac {\mathrm {N} !}{n!(\mathrm {N} -n)!}}(m-1)^{\mathrm {N} -n}$

pour le nombre des cas favorables ; d’où pour la probabilité cherchée :

(1)

$\mathrm {P} _{n}={\frac {\mathrm {N} !}{n!(\mathrm {N} -n)!}}\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{m}}\right)^{\mathrm {N} -n}.$

On vérifierait aisément que, comme cela doit