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cune des deux extrémités de l’ensemble des coups, de sorte que, si nous désignons par $n_{0}$ et appelons nombre de séries rouges d’ordre $0,$ le nombre des intervalles entre les noires où ne se trouve aucune rouge, nous devons avoir $n_{0}+n_{1}+n_{2}+\ldots$ égal à $\mathrm {N} +1,$ d’où :

(9)

$n_{0}+n_{1}+n_{2}+\ldots =\mathrm {N} +1.$

Le postulat d’indépendance entre les coups nous permet d’affirmer que chaque intervalle entre deux noires peut indifféremment renfermer une série d’ordre $0,\,1,\,2,\,3,\ldots ,$ puisque la couleur d’un coup n’est nullement conditionnée par la couleur du coup qui l’a précédé. Il y aura donc autant de manières de réaliser la distribution donnée des rouges en $\mathrm {N} +1$ séries qu’il y a de manières différentes de ranger ces séries, de distribuer entre elles $n_{0}$ indices $0,$ $n_{1}$ indices $1,$ $n_{2}$ indices $2,$ etc., l’indice attribué à une série indiquant l’ordre auquel elle appartient. C’est, comme tout à l’heure, le nombre des permutations complètes des $\mathrm {N} +1$ séries données :

(10)

$\mathrm {W} ={\frac {(\mathrm {N} +1)!}{(n_{0})!(n_{1})!\ldots }}.$

La probabilité de la distribution donnée est proportionelle à cette quantité, au nombre de cas favorables, c’est à dire au nombre de manières dont on peut la réaliser, mais contrairement à ce qui se passait dans le problème précédent, les nombres $n$ ne sont pas seulement assujettis à la condition d’avoir une somme donnée égale ici à $\mathrm {N} +1,$ mais doivent encore satisfaire à la relation (8). C’est elle