qui limite maintenant le nombre des cas possibles comme, dans le problème précédent, ce nombre était limité par la condition, absente ici, qu’il y ait m indices différents. Un raisonnement simple montre que ce nombre total des cas possibles est égal au nombre des permutations complètes qu’on peut former avec les N noires et les R rouges, c’est-à-dire à
(N + R) ! /(N ! *R !)
d’où l’on déduit aisément, en divisant (10) par (11), l’expression cherchée pour la probabilité.
La distribution la plus probable. — Dans le problème précédent, la probabilité maximum correspondait à la distribution uniforme ; à cause de la liaison imposée par la relation (8), la distribution la plus probable des N séries entre les divers ordres ne sera pas uniforme. Pour l’obtenir il nous faut chercher les valeurs de n(0), n(1), n(2), satisfaisant à la fois aux relations (8) et (9) et donnant la plus grande valeur possible à l’expression (10) de W. Cette question peut être résolue de manière simple quand on suppose les nombres n assez grands pour que chaque factorielle puisse être remplacée par la formule de Stirling :
n ! = [sqrt(2*Pi*n)]*[(n/e)^(n)]
Prenant le logarithme de W et laissant de côté des termes négligeables dans l’hypothèse où les n
