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Cet élément est la distance des deux points, dont le carré, d² a pour valeur

$\scriptstyle d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}=(x'_{2}-x'_{1})^{2}+(y'_{2}-y'_{1})^{2}+(z'_{2}-z'_{1})^{2}.$

Les formules qui expriment les x, y, z en fonction des x', y', z' doivent donc satisfaire à cette condition que, si dans l’expression :

$\scriptstyle (x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}$

on remplace les x, y, z par leurs valeurs en fonction des x', y', z' le résultat doit être simplement

$\scriptstyle (x'_{2}-x'_{1})^{2}+(y'_{2}-y'_{1})^{2}+(z'_{2}-z'_{1})^{2}$

cette condition suffit à définir entièrement le groupe de transformation.

Dans la figure formée par deux points, il y a donc un élément, la distance de ces deux points, qui reste invariant malgré le changement quelconque du système d’axes. On peut dire que cet élément est intrinsèque à la figure, correspond à une réalité indépendante de tout système d’axes. Dans les figures plus compliquées, d’autres éléments invariants, d’autres fonctions des coordonnées des points de la figure s’introduisent (distances, angles, etc.) qui caractérisent la figure indépendamment du système d’axes employé. La géométrie pure fait intervenir uniquement de pareils éléments et traduit les propriétés des figures par des relations entre ces éléments. Par exemple, la propriété, de la figure formée par quatre points, d’être un carré s’exprime au moyen de cinq relations entre les distances de