varient en fonction de et quand on parcourt l’ensemble de la surface.
Les propriétés géométriques des lignes tracées sur la surface sont entièrement déterminées quand on connaît les trois quantités en fonction de et et s’expriment par des équations qui possèdent, grâce à l’introduction de ces trois fonctions et de leurs dérivées, des formes indépendantes du système de coordonnées curvilignes employé. En particulier, l’équation différentielle des géodésiques, qui jouent un rôle analogue à celui de la droite dans le plan, s’obtient en exprimant que ces lignes ont une longueur stationnaire entre deux points par la condition
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En outre, Gauss a montré qu’il existe en chaque point d’une surface une fonction des et de leurs dérivées premières et secondes qui est un invariant absolu, qui prend la même valeur quel que soit le système de coordonnées employé. C’est la courbure totale, produit des deux courbures principales de la surface au point considéré. La géométrie sur la surface est euclidienne quand cette courbure totale est nulle en tout point (surfaces développables), elle est la géométrie non euclidienne de Riemann quand cette courbure a une valeur constante positive (sphère ou surfaces applicables sur la sphère) ou la géométrie non euclidienne de Lobatschewsky et Bolyai quand la courbure totale a une valeur négative constante.
Voici le développement parallèle des idées dans la théorie de relativité généralisée :
