Page:Langevin - La physique depuis vingt ans, 1923.djvu/434

On obtient pour le $ds^{2}$ en coordonnées sphériques $r,\theta ,\varphi ,$ l’expression

(14)

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{\mathrm {V} ^{2}r}}\right)dt^{2}$

$-{\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\left[r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}+\left(1-{\frac {2\mathrm {GM} }{\mathrm {V} ^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}\right].$

Les géodésiques de cet univers s’obtiennent sans difficulté et correspondent, pour celles qui restent à distance finie, à un mouvement elliptique de Kepler avec rotation du périhélie d’une quantité par tour

$\delta \omega ={\frac {3\mathrm {GM} }{\mathrm {V} ^{2}a\left(1-e^{2}\right)}},$

$a$ étant le demi-grand axe et e l’excentricité de l’orbite elliptique.

Cette formule donne exactement le mouvement du périhélie de Mercure (43 secondes par siècle) quand on y donne à $\mathrm {M}$ la valeur de la masse du Soleil, à $a$ et $e$ les valeurs connues pour Mercure.

Le trajet d’un rayon lumineux étant une géodésique de longueur nulle, on obtient facilement une trajectoire incurvée vers le centre d’attraction avec une déviation totale entre les directions extrêmes

$\alpha =\mathrm {\frac {4GM}{RV^{2}}} ,$

$\mathrm {R}$ étant la distance minima du rayon au centre d’attraction.

Pour une étoile vue au voisinage immédiat du bord