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MÉCANIQUE CÉLESTE.

prouvent les différents points de la face $dy\,dz$ du parallélépipède la plus voisine de l’origine des coordonnées, et $p'$ la même quantité relative à la face opposée. Le parallélépipède, en vertu de la pression qu’il éprouve, sera sollicité, parallèlement à l’axe des $x,$ par une force égale à $(p-p')\,dy\,dz\ ;$ $p'-p$ est la différence de $p$ prise en ne faisant varier que $x\ ;$ car, quoique la pression $p'$ agisse en sens contraire de $p,$ cependant, la pression qu’éprouve un point du fluide étant la même dans tous les sens, $p'-p$ peut être considéré comme la différence de deux forces infiniment voisines et agissant dans le même sens ; on a donc

$p'-p={\frac {\partial p}{\partial x}}dx,$ et $(p-p')\,dy\,dz=-{\frac {\partial p}{\partial x}}dx\,dy\,dz.$

Soient $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ les trois forces accélératrices qui animent d’ailleurs les molécules fluides parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z\ ;$ si l’on nomme $\rho$ la densité du parallélépipède, sa masse sera $\rho \,dx\,dy\,dz,$ et le produit de la force $\mathrm {P}$ par cette masse sera la force entière qui en résulte pour la mouvoir ; cette masse sera par conséquent sollicitée, parallèlement à l’axe des $x,$ par la force

$\left(\rho \mathrm {P} -{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)\,dx\,dy\,dz.$

Elle sera pareillement sollicitée, parallèlement aux axes des $y$ et des $z,$ par les forces

$\left(\rho \mathrm {Q} -{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\,dz$ et $\left(\rho \mathrm {R} -{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz\ ;$

on aura donc, en vertu de l’équation (b) du n^o 3,

$0=\left(\rho \mathrm {P} -{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)\delta x+\left(\rho \mathrm {Q} -{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)\delta y+\left(\rho \mathrm {R} -{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)\delta z,$

ou

$\delta p=\rho \left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right).$

Le second membre de cette équation doit être, comme le premier, une