variation exacte ; ce qui donne les équations suivantes aux différences partielles
![{\displaystyle {\frac {\partial .\rho \mathrm {P} }{\partial y}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {Q} }{\partial x}},\ {\frac {\partial .\rho \mathrm {P} }{\partial z}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {R} }{\partial x}},\ {\frac {\partial .\rho \mathrm {Q} }{\partial z}}={\frac {\partial .\rho \mathrm {R} }{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b30fc6396107a38316fd1b0bfb102c8282183e)
d’où l’on tire
Cette équation exprime la relation qui doit exister entre les forces
pour que l’équilibre soit possible.
Si le fluide est libre à sa surface ou dans quelques parties de cette surface, la valeur de
sera nulle dans ces parties ; on aura donc
pourvu que l’on assujettisse les variations
à appartenir à cette surface ; ainsi, en remplissant ces conditions, on aura
![{\displaystyle 0=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af170dd7194b5bd23f12e087e1b04e58c85d6cc)
Soit
l’équation différentielle de la surface ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z=\lambda \delta u\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fde9b4297752feffcdcdc9aa4fda78039b6664)
étant une fonction de
d’où il suit, par le no 3, que la résultante des forces
doit être perpendiculaire aux parties de la surface dans lesquelles le fluide est libre.
Supposons que la variation
soit exacte, ce qui a lieu, par le no 2, lorsque les forces
sont le résultat de forces attractives. Nommons alors
cette variation : on aura
doit donc être fonction de
et de
et, comme en intégrant cette équation différentielle on a
en fonction de
on aura
en fonction de
La pression
est donc la même pour toutes les molécules dont la densité est la même ; ainsi
est nul relativement aux surfaces des couches de la masse fluide, dans lesquelles la densité est constante, et l’on a, par rapport à ces surfaces,
![{\displaystyle 0=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af170dd7194b5bd23f12e087e1b04e58c85d6cc)
Il suit de là que la résultante des forces qui animent chaque molécule