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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

De là il est facile de conclure

${\begin{aligned}&x=x_{'''}\left(\cos \theta \sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +y_{'''}\left(\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi \right)+z_{'''}\sin \theta \sin \psi ,\\&y=x_{'''}\left(\cos \theta \cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +y_{'''}\left(\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi \right)+z_{'''}\sin \theta \cos \psi ,\\&z=z_{'''}\cos \theta -y_{'''}\sin \theta \cos \varphi -x_{'''}\sin \theta \sin \varphi .\end{aligned}}$

En multipliant ces valeurs de $x,y,z$ respectivement par les coefficients de $x_{'''},$ dans ces valeurs, on aura, en les ajoutant,

$x_{'''}=x\left(\cos \theta \sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi \right)$

$+y\left(\cos \theta \cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi \right)-z\sin \theta \sin \varphi .$

En multipliant pareillement les valeurs de $x,y,z$ respectivement par les coefficients de $y_{'''}$ dans ces valeurs, et ensuite par les coefficients de $z_{'''},$ on aura

${\begin{aligned}&y_{'''}=x\left(\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +y\left(\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi \right)-z\sin \theta \cos \varphi ,\\&z_{'''}=x\sin \theta \sin \psi +y\sin \theta \cos \psi +z\cos \theta .\end{aligned}}$

Ces diverses transformations des coordonnées nous seront très-utiles dans la suite. En marquant d’un trait en haut, de deux traits, etc. les coordonnées $x,y,z,x_{'''},y_{'''},z_{'''}$ on aura les coordonnées correspondantes aux corps $m',m'',\cdots$

De là, en substituant $c,c',c''$ au lieu de

$\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}},\quad \sum m{\frac {xdz-zdx}{dt}},\quad \sum m{\frac {ydz-zdy}{dt}},$

il est facile de conclure

${\begin{aligned}\sum m{\frac {x_{'''}dy_{'''}-y_{'''}dx_{'''}}{dt}}=&c\cos \theta -c'\sin \theta \cos \psi +c''\sin \theta \sin \psi ,\\\\\sum m{\frac {x_{'''}dz_{'''}-z_{'''}dx_{'''}}{dt}}=&c\sin \theta \cos \varphi +c'\left(\sin \psi \sin \varphi +\cos \theta \cos \psi \cos \varphi \right)\\&+c''\left(\cos \psi \sin \varphi -\cos \theta \sin \psi \cos \varphi \right),\\\sum m{\frac {y_{'''}dz_{'''}-z_{'''}dy_{'''}}{dt}}=&-c\sin \theta \sin \varphi +c'\left(\sin \psi \cos \varphi -\cos \theta \cos \psi \sin \varphi \right)\\&+c''\left(\cos \psi \cos \varphi +\cos \theta \sin \psi \sin \varphi \right).\end{aligned}}$