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MÉCANIQUE CÉLESTE.
Si l’on détermine
et
de manière que l’on ait
![{\displaystyle \sin \theta \sin \psi ={\frac {c''}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},\qquad \sin \theta \cos \psi ={\frac {-c'}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a2c7d52a2c8505b4ac5b49d58b98643ec572a3)
ce qui donne
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5720de0dc13e6a5ff0b855c3f202b9babba3c8a4)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}-y_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}={\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}},\\&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}=0,\\&\sum m{\frac {y_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}}{dt}}=0\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04dcf009977cc0404080cc08b9516537624680a8)
les valeurs de
et de
sont donc nulles par rapport au plan des
et des
déterminé de cette manière. Il n’existe qu’un seul plan qui jouisse de cette propriété ; car, en supposant qu’il soit celui des
et des
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}=c\sin \theta \cos \varphi ,\\&\sum m{\frac {y_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}}{dt}}=-c\sin \theta \sin \varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f976577a3b30f2399b124525bf2753e180ee12c)
En égalant ces deux fonctions à zéro, on aura
c’est-à-dire que le plan des
et des
coïncide alors avec celui des
et des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
La valeur de
étant égale à
quel que soit le plan des
et des
il en résulte que la quantité
est la même, quel que soit ce plan, et que le plan des
et des
déterminé par ce qui précède, est celui relativement auquel la fonction
est le plus grande ; le plan dont il s’agit jouit donc de ces propriétés remarquables, savoir ;1o que la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des corps, et multipliées respectivement par leurs masses, y est le plus grande possible ;2o que la même somme, relativement à un plan quelconque qui lui est per-