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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

ces trois équations différentielles donnent les suivantes

(D)

${\begin{cases}dp'+\mathrm {\frac {B-A}{AB}} q'r'dt=d\mathrm {N} \operatorname {cos} \theta -d\mathrm {N} '\operatorname {sin} \theta ,\\\\dq'+\mathrm {\frac {C-B}{CB}} \,r'p'dt=-\left(d\mathrm {N} \operatorname {sin} \theta +d\mathrm {N} '\operatorname {cos} \theta ,\right)\,\operatorname {sin} \varphi +d\mathrm {N} ''\operatorname {cos} \varphi ,\\\\dr'+\mathrm {\frac {A-C}{AC}} p'q'dt=-\left(d\mathrm {N} \operatorname {sin} \theta +d\mathrm {N} '\operatorname {cos} \theta \right)\operatorname {cos} \varphi -d\mathrm {N} ''\operatorname {sin} \varphi .\end{cases}}$

Ces équations sont très-commodes pour déterminer le mouvement de rotation d’un corps, lorsqu’il tourne à fort peu près autour de l’un des axes principaux, ce qui est le cas des corps célestes.

27. Les trois axes principaux auxquels nous venons de rapporter les angles $\theta ,\ \psi$ et $\varphi$ méritent une attention particulière ; nous allons déterminer leur position dans un solide quelconque. Les valeurs de $x',y',z'$ du numéro précédent donnent, par le n° 21, les suivantes

$x''=x'\left(\operatorname {cos} \theta \operatorname {sin} \psi \operatorname {sin} \varphi +\operatorname {cos} \psi \operatorname {cos} \varphi \right)$

$+y'\left(\operatorname {cos} \theta \operatorname {cos} \psi \operatorname {sin} \varphi -\operatorname {sin} \psi \operatorname {cos} \varphi \right)-z'\operatorname {sin} \theta \operatorname {sin} \varphi ,$

$y''=x'\left(\operatorname {cos} \theta \operatorname {sin} \psi \operatorname {cos} \varphi -\operatorname {cos} \psi \operatorname {sin} \varphi \right)$

$+y'\left(\operatorname {cos} \theta \operatorname {cos} \psi \operatorname {cos} \varphi +\operatorname {sin} \psi \operatorname {sin} \varphi \right)-z'\operatorname {sin} \theta \operatorname {cos} \varphi ,$

$z''=x'\operatorname {sin} \theta \operatorname {sin} \psi +y'\operatorname {sin} \theta \operatorname {cos} \psi +z'\operatorname {cos} \theta \,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x''\operatorname {cos} \varphi -y''\operatorname {sin} \varphi &=x'\operatorname {cos} \psi -y'\operatorname {sin} \psi ,\\x''\operatorname {sin} \varphi +y''\operatorname {cos} \varphi &=x'\operatorname {cos} \theta \operatorname {sin} \psi +y'\operatorname {cos} \theta \operatorname {cos} \psi -z'\operatorname {sin} \theta .\end{aligned}}$

Soit

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {S} x'^{2}\,\ dm&=a^{2},&\qquad \mathrm {S} y'^{2}\,\ dm&=b^{2},&\qquad \mathrm {S} z'^{2}\,\ dm&=c^{2},\\\mathrm {S} x'y'dm&=f,&\mathrm {S} x'z'dm&=g,&\mathrm {S} y'z'dm&=h\,;\end{alignedat}}$

on aura

$\operatorname {cos} \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm-\operatorname {sin} \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm$

$=\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {sin} \theta \operatorname {sin} \psi \operatorname {cos} \psi +f\operatorname {sin} \theta \left(\operatorname {cos} ^{2}\psi -\operatorname {sin} ^{2}\psi \right)$

$+\operatorname {cos} \theta \left(g\operatorname {cos} \psi -h\operatorname {sin} \psi \right),$

$\operatorname {sin} \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm+\operatorname {cos} \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm$

$=\operatorname {sin} \theta \operatorname {cos} \theta \left(a^{2}\operatorname {sin} ^{2}\psi +b^{2}\operatorname {cos} ^{2}\psi -c^{2}+2f\operatorname {sin} \psi \operatorname {cos} \psi \right)$

$+\left({\operatorname {cos} }^{2}\,\theta -{\operatorname {sin} }^{2}\theta \right)\left(g\operatorname {sin} \psi +h\operatorname {cos} \psi \right).$