86
MÉCANIQUE CÉLESTE.
En égalant à zéro les seconds membres de ces deux équations, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tang} \theta ={\frac {h\sin \psi -g\cos \psi }{\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin \psi \cos \psi +f\left({\cos }^{2}\psi -{\sin }^{2}\psi \right)}},\\\\&{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tang} 2\theta ={\frac {g\sin \psi +h\cos \psi }{c^{2}-a^{2}{\sin }^{2}\psi -b^{2}{\cos }^{2}\psi -2f\sin \psi \cos \psi }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb5c40acc9c52393e026d09c1894f8a8ce89de9)
mais on a
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tang} \,2\,\theta ={\frac {\operatorname {tang} \,\theta }{1-\operatorname {tang} ^{2}\,\theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9e216050bbe19f0ec3b2c0136771fd6b6ad58a)
en égalant ces deux valeurs de
et en substituant dans la dernière, au lieu de
sa valeur précédente en
en faisant ensuite, pour abréger,
on trouvera, après toutes les réductions, l’équation suivante du troisième degré
![{\displaystyle 0=\left(gu+h\right)\left(hu-g\right)^{2}+\left[\left(a^{2}-b^{2}\right)u+f\left(1-u^{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd07aec241a16c67a1caacd8c48d86b69c8c8dc)
![{\displaystyle \left[\left(hc^{2}-ha^{2}+fg\right)u+gb^{2}-gc^{2}-hf\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7cc500f4c37f16a4d7be239d2709c53148d3a7)
Cette équation ayant au moins une racine réelle, on voit qu’il est toujours possible de rendre nulles à la fois les deux quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm-\sin \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm,\\\sin \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm+\cos \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e457e82a2799dcc4c8a044858024a3b5d54a5c)
et par conséquent la somme de leurs carrés
ce qui exige que l’on ait séparément
![{\displaystyle \mathrm {S} \,x''\,z''\,dm=0,\,\,\,\mathrm {S} \,y''\,z''\,dm=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ec6456f677864a5406f4f5ff6be9f124f9cefd)
La valeur de
donne celle de l’angle
et par conséquent celle de
et de l’angle
Il reste maintenant à déterminer l’angle
ce que l’on fera au moyen de la condition
qui reste à remplir. Pour cela, nous observerons que, si l’on substitue dans
au lieu de
leurs valeurs précédentes, cette fonction deviendra de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {H} \,\sin \,2\,\varphi +\mathrm {L} \,\cos \,2\,\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5183210230385674b98a95062f3da36de743f6d)
et
étant fonctions des angles
et
et des constantes
![{\displaystyle f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d)