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PREMIÈRE PARTIE. – LIVRE I.

équations, qui sont à une ligne droite formant avec les axes des $x'',$ des $y''$ et des $z''$ des angles dont les cosinus sont

${\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\;\;{\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\;\;{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}.$

Cette droite est donc en repos, et forme l’axe réel de rotation du corps.

Pour avoir la vitesse de rotation du corps, considérons le point de l’axe des $z''$ éloigné de l’origine des coordonnées d’une distance égale à l’unité. On aura ses vitesses parallèlement aux axes des $x',$ des $y'$ et des $z'$ en faisant $x''=0,$ $y''=0,$ $z''=1$ dans les expressions précédentes de $dx',$ $dy',$ $dz',$ et en les divisant par $dt,$ ce qui donne, pour ces vitesses partielles,

${\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ,\;\;{\frac {d\theta }{dt}}\cos \theta ,\;\;{\frac {-d\theta }{dt}}\sin \theta \,;$

la vitesse entière du point dont il s’agit est donc ${\tfrac {\sqrt {d\theta ^{2}+d\psi ^{2}\sin ^{2}\theta }}{dt}},$ ou ${\sqrt {q^{2}+r^{2}}}.$ En divisant cette vitesse par la distance du point à l’axe instantané de rotation, on aura la vitesse angulaire de rotation du corps ; or cette distance est évidemment égale au sinus de l’angle que l’axe réel de rotation fait avec l’axe des $z'',$ angle dont le cosinus est ${\tfrac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}\,;$ on aura donc ${\tfrac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}$ pour la vitesse angulaire de rotation.

On voit par là que, quel que soit le mouvement de rotation d’un corps autour d’un point fixe ou considéré comme tel, ce mouvement ne peut être qu’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe pendant un instant, mais qui peut varier d’un instant à l’autre. La position de cet axe par rapport aux trois axes principaux et la vitesse angulaire de rotation dépendent des variables $p,q,r,$ dont la détermination est très-importante dans ces recherches, et qui, exprimant des quantités indépendantes de la situation du plan des $x'$ et des $y'$, sont elles-mêmes indépendantes de cette situation.