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MÉCANIQUE CÉLESTE.
29. Déterminons ces variables en fonction du temps
dans le cas où le corps n’est sollicité par aucune force extérieure. Pour cela, reprenons les équations (D) du n° 26 entre les variables
qui sont aux précédentes dans un rapport constant. Les différentielles
et
sont alors nulles, et ces équations donnent, en les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par
et
![{\displaystyle 0=p'dp'+q'dq'+r'dr',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508e8468a3a2837ad03f1d8c71851186172ecbc5)
et, en intégrant,
![{\displaystyle p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}=k^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d13731f0d9261b2da24b7710c23b262777086f9)
étant une constante arbitraire.
Les équations (D), multipliées respectivement par
et
et ensuite ajoutées, donnent, en intégrant leur somme,
![{\displaystyle \mathrm {AB} p'^{2}+\mathrm {BC} q'^{2}+\mathrm {AC} r'^{2}=\mathrm {H} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5598b451ee4e2d38edcac4f722f0e05492fb46f9)
étant une constante arbitraire : cette équation renferme le principe de la conservation des forces vives. On tirera de ces deux intégrales
![{\displaystyle {\begin{aligned}q'^{2}=&{\frac {\mathrm {AC} k^{2}-\mathrm {H} ^{2}+\mathrm {A} \left({\rm {B-C}}\right)p'^{2}}{\rm {C\left(A-B\right)}}},\\r'^{2}=&{\frac {\mathrm {H} ^{2}-\mathrm {BC} k^{2}-\mathrm {B} \left({\rm {B-C}}\right)p'^{2}}{\rm {C\left(A-B\right)}}}\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aaff3096367d76485de695c4a1697d011843b94)
ainsi l’on connaîtra
et
en fonction du temps
lorsque
sera déterminé. Or la première des équations (D) donne
![{\displaystyle dt={\frac {\mathrm {AB} dp'}{\left(\mathrm {A-B} \right)\,q'\,r'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce849e0ac6a5265b4b9157964ce0130b9ad58716)
partant
![{\displaystyle dt={\frac {\mathrm {ABC} dp'}{\sqrt {\left[\mathrm {AC} k^{2}-\mathrm {H} ^{2}+\mathrm {A} \left({\rm {B-C}}\right)p'^{2}\ \right]\,\left[\ \mathrm {H} ^{2}-\mathrm {BC} k^{2}-\mathrm {B} \left({\rm {B-C}}\right)p'^{2}\right]}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa7a3d79c20730eea67ebdd8aea8243a60ac651)
équation qui n’est intégrable que dans l’un des trois cas suivants,
![{\displaystyle {\rm {B=C,\ {\rm {A=C.}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5e1b06b400f3c6d4386457c2c826150b5c5c24)
La détermination des trois quantités
renferme trois arbitraires
et celle qu’introduit l’intégration de l’équation différen-