pour l’action de
sur
, décomposée parallèlement à l’axe des
, et ainsi du reste. Soit donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {mm''}{\sqrt {(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}+(z''-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {m'm''}{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b2188adc00794293fe846e2ca02e654327dede)
étant ainsi la somme des produits deux à deux des masses
divisés par leurs distances respectives ;
exprimera la somme des actions des corps
sur
, décomposées parallèlement à l’axe des
, en sens contraire de l’origine des coordonnées. En désignant donc par
l’élément du temps, supposé constant, on aura, par les principes de Dynamique exposés dans le Livre précédent,
![{\displaystyle 0=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40831598ff617d94f706725f19f70222f7683d2)
On aura pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\\\\&0=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f9c792cbb7e7b3947c664d336d3fc3aff89171)
Si l’on considère de la même manière l’action des corps
sur
celle des corps
sur
et ainsi du reste, on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&=m'{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}},&\qquad 0&=m{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}},&\qquad 0&=m{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z'}},\\\\0&=m''{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x''}},&\quad 0&=m{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y''}},&\quad 0&=m{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6743acbcd35bc9220a616c5bcb8c6d0be8a7d4c1)
La détermination des mouvements de
dépend de l’intégration de ces équations différentielles ; mais il n’a été possible jus-