vecteur étant égale à
la première de ces équations nous apprend que cette aire est proportionnelle à cet élément, et qu’ainsi, dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. La dernière équation donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle s=\gamma \sin(v-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5699fe46048f70ef355857aba4ec5e21dc11db)
et
étant deux arbitraires. Enfin la seconde donne par son intégration
![{\displaystyle u={\frac {\mu }{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(v-\varpi )\right]={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3e4a7aeefe4e77f021f23f1c849a8c75b6c5a5)
et
étant deux nouvelles arbitraires. En substituant dans cette expression de
au lieu de
sa valeur en
et substituant ensuite cette expression dans l’équation
l’intégrale de cette équation donnera
en fonction de
; on aura donc ainsi
et
en fonction du temps.
On peut simplifier considérablement ce calcul, en observant que la valeur de
indique que l’orbite est toute dans un plan dont
est la tangente d’inclinaison sur le plan fixe, et dont
est la longitude du nœud, comptée de l’origine de l’angle
En rapportant donc à ce plan le mouvement de
on aura
et
ce qui donne
![{\displaystyle u={\frac {1}{r}}={\frac {\mu }{h^{2}}}\left[1+e\cos(v-\varpi )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f286823fa396231d8af43b0157106f805f3c7f4f)
Cette équation est à une ellipse dans laquelle l’origine des
est au foyer ;
est le demi-grand axe, que nous désignerons par
est le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ; enfin
est la longitude du périhélie. L’équation
devient ainsi
![{\displaystyle dt={\frac {a^{\frac {3}{2}}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dv}{{\sqrt {\mu }}\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38944f60d1d285cd0d354bb9143a35d703f5ea9)
Développons le second membre de cette équation dans une série de