cosinus (le l’angle
et de ses multiples. Pour cela, nous commencerons par développer
dans une série semblable. Si l’on fait
![{\displaystyle \lambda ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a364027aa8fda03d775fd0f6a0db303916ced0b7)
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{1+e\cos(v-\varpi )}}={\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left({\frac {1}{1+\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}}-{\frac {\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}{1+\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e646766d3a94107e9a1b6f2bfcddd435f475d0)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En développant le second membre de cette équation en série, savoir, le premier terme relativement aux puissances de
et le second terme relativement aux puissances de
et en substituant ensuite, au lieu des exponentielles imaginaires, leurs expressions en sinus et cosinus, on trouvera
![{\displaystyle {\frac {1}{1+e\cos(v-\varpi )}}={\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f050c4da159cf18482f8b4c70a1e00adaecfd62d)
![{\displaystyle \left[1-2\lambda \cos(v-\varpi )+2\lambda ^{2}\cos 2(v-\varpi )-2\lambda ^{3}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec1def6355b34020a888ecd63a3331506d6dbe9)
Nommons
le second membre de cette équation, et faisons
; nous aurons généralement
![{\displaystyle {\frac {1}{[1+e\cos(v-\varpi )]^{m+1}}}=\pm {\frac {e^{-m-1}d^{m}{\frac {\varphi }{q}}}{1.2.3\ldots mdq^{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0f74f7a53714d20b4865aa8ef2f3274e1ceac9)
étant supposé constant, et les signes
ou
ayant lieu, suivant que
est pair ou impair. De là il est aisé de conclure que, si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1}{[1+e\cos(v-\varpi )]^{2}}}=\left(1-e^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77940c9d434d252b59d3e7671511aeebfca02feb)
![{\displaystyle \left[1+\mathrm {E} ^{(1)}\cos(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(3)}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7264292a30b9c8e16183633d625af0cd938ce60c)
on aura, quel que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle \mathrm {E} ^{(i)}=\pm {\frac {2e^{i}\left(1+i{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}{\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)^{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456334d3fba6ae1eae70680d619f9e242894be78)
le signe
ayant lieu si
est pair, et le signe
ayant lieu si
est