Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/209

cosinus (le l’angle $v-\varpi$ et de ses multiples. Pour cela, nous commencerons par développer ${\frac {1}{1+e\cos(v-\varpi )}}$ dans une série semblable. Si l’on fait

$\lambda ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

on aura

${\frac {1}{1+e\cos(v-\varpi )}}={\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left({\frac {1}{1+\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}}-{\frac {\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}{1+\lambda e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}}}\right),$

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En développant le second membre de cette équation en série, savoir, le premier terme relativement aux puissances de $e^{(v-\varpi ){\sqrt {-1}}}$ et le second terme relativement aux puissances de $e^{-(v-\varpi ){\sqrt {-1}}},$ et en substituant ensuite, au lieu des exponentielles imaginaires, leurs expressions en sinus et cosinus, on trouvera

${\frac {1}{1+e\cos(v-\varpi )}}={\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}\times$

$\left[1-2\lambda \cos(v-\varpi )+2\lambda ^{2}\cos 2(v-\varpi )-2\lambda ^{3}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right].$

Nommons $\varphi$ le second membre de cette équation, et faisons $q={\frac {1}{e}}$ ; nous aurons généralement

${\frac {1}{[1+e\cos(v-\varpi )]^{m+1}}}=\pm {\frac {e^{-m-1}d^{m}{\frac {\varphi }{q}}}{1.2.3\ldots mdq^{m}}},$

$dq$ étant supposé constant, et les signes $+$ ou $-$ ayant lieu, suivant que $m$ est pair ou impair. De là il est aisé de conclure que, si l’on fait

${\frac {1}{[1+e\cos(v-\varpi )]^{2}}}=\left(1-e^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\times$

$\left[1+\mathrm {E} ^{(1)}\cos(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(3)}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right],$

on aura, quel que soit $i,$

$\mathrm {E} ^{(i)}=\pm {\frac {2e^{i}\left(1+i{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}{\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)^{i}}},$

le signe $+$ ayant lieu si $i$ est pair, et le signe $-$ ayant lieu si $i$ est