17. On peut encore intégrer de cette manière les équations du mouvement de deux corps
et
, qui s’attirent en raison réciproque du carré des distances. Reprenons les équations (1), (2) et (3) du no 9 ; elles deviennent, en ne considérant que l’action des deux corps
et
et faisant
(O)
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Les intégrales de ces équations donneront, en fonction du temps
les trois coordonnées
du corps
rapportées au centre de
on aura ensuite, par le no 9, les coordonnées
et
du corps
rapportées à un point fixe, au moyen des équations
![{\displaystyle \zeta =a+bt-{\frac {mx}{\mathrm {M} +m}},\ \Pi =a'+b't-{\frac {my}{\mathrm {M} +m}},\ \gamma =a''+b''t-{\frac {mz}{\mathrm {M} +m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe8b04e1068d15c69b68797b4396f14e8ec62d7)
Enfin, on aura les coordonnées de
par rapport au même point fixe, en ajoutant
à
à
et
à
on aura ainsi le mouvement relatif des corps
et
et leur mouvement absolu dans l’espace. Tout se réduit donc à intégrer les équations différentielles (O).
Pour cela, nous observerons que, si l’on a, entre les
variables
et la variable
dont la différence est supposée constante, un nombre
d’équations différentielles données par la suivante
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}x^{(s)}}{dt^{i}}}+\mathrm {A} {\frac {d^{i-1}x^{(s)}}{dt^{i-1}}}+\mathrm {B} {\frac {d^{i-2}x^{(s)}}{dt^{i-2}}}+\ldots +\mathrm {H} x^{(s)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a38a65644dd906929afaf855054e88a9b64e18)
dans laquelle on suppose
successivement égal à
étant des fonctions des variables
et de
symétriques par rapport aux variables
c’est-à-dire telles qu’elles restent les mêmes lorsque l’on y change une quelconque de