Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/211

17. On peut encore intégrer de cette manière les équations du mouvement de deux corps ${\rm {M}}$ et $m$, qui s’attirent en raison réciproque du carré des distances. Reprenons les équations (1), (2) et (3) du n^o 9 ; elles deviennent, en ne considérant que l’action des deux corps ${\rm {M}}$ et $m,$ et faisant $\mathrm {M} +m=\mu ,$

(O)

$\left\{{\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mu x}{r^{2}}},\\\\0&={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mu y}{r^{2}}},\\\\0&={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mu z}{r^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

Les intégrales de ces équations donneront, en fonction du temps $t,$ les trois coordonnées $x,\,y,\,z$ du corps $m,$ rapportées au centre de $\mathrm {M} \,;$ on aura ensuite, par le n^o 9, les coordonnées $\zeta ,\,\Pi$ et $\gamma$ du corps $\mathrm {M} ,$ rapportées à un point fixe, au moyen des équations

$\zeta =a+bt-{\frac {mx}{\mathrm {M} +m}},\ \Pi =a'+b't-{\frac {my}{\mathrm {M} +m}},\ \gamma =a''+b''t-{\frac {mz}{\mathrm {M} +m}}.$

Enfin, on aura les coordonnées de $m$ par rapport au même point fixe, en ajoutant $x$ à $\zeta ,\ y$ à $\Pi ,$ et $z$ à $\gamma \,;$ on aura ainsi le mouvement relatif des corps ${\rm {M}}$ et $m$ et leur mouvement absolu dans l’espace. Tout se réduit donc à intégrer les équations différentielles (O).

Pour cela, nous observerons que, si l’on a, entre les $n$ variables $x^{(1)},\,x^{(2)},\,x^{(3)},\ldots ,\,x^{(n)},$ et la variable $t$ dont la différence est supposée constante, un nombre $n$ d’équations différentielles données par la suivante

$0={\frac {d^{i}x^{(s)}}{dt^{i}}}+\mathrm {A} {\frac {d^{i-1}x^{(s)}}{dt^{i-1}}}+\mathrm {B} {\frac {d^{i-2}x^{(s)}}{dt^{i-2}}}+\ldots +\mathrm {H} x^{(s)},$

dans laquelle on suppose $s$ successivement égal à $1{,}\,2{,}\,3,\ldots ,\,n\,;\ \mathrm {A,\,B} ,\ldots ,\mathrm {H}$ étant des fonctions des variables $x^{(1)},\,x^{(2)},\ldots$ et de $t,$ symétriques par rapport aux variables $x^{(1)},\,x^{(2)},\,\ldots ,\,x^{(n)},$ c’est-à-dire telles qu’elles restent les mêmes lorsque l’on y change une quelconque de