impair ; en supposant donc
on aura
![{\displaystyle ndt=dv\left[1+\mathrm {E} ^{(1)}\cos(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(3)}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290159e1a258770ec488dfc2feaf89ea3cdd2ba6)
et, en intégrant,
![{\displaystyle nt+\varepsilon =v+\mathrm {E} ^{(1)}\sin(v-\varpi )+{\frac {1}{2}}\mathrm {E} ^{(2)}\sin 2(v-\varpi )+{\frac {1}{3}}\mathrm {E} ^{(3)}\sin 3(v-\varpi )+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5623bb763cf2579b4a5162779835ba2e68051e9a)
étant une arbitraire. Cette expression de
est fort convergente lorsque les orbites sont peu excentriques, telles que les orbites des planètes et des satellites ; et l’on peut, par le retour des suites, en conclure la valeur de
en
: nous nous occuperons de cet objet dans les numéros suivants.
Lorsque la planète revient au même point de son orbite,
est augmenté de la circonférence, que nous représenterons toujours par
; en nommant donc
le temps d’une révolution, on aura
![{\displaystyle T={\frac {2\pi }{n}}={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1fbd26a3ab8c08730273eeead1c32428235f2a)
Cette expression de
peut être immédiatement déduite de l’expression différentielle de
sans recourir aux séries. Reprenons, en effet, l’équation
ou
Elle donne
est le double de la surface de l’ellipse, et par conséquent il est égal à
de plus,
est égal à
on aura ainsi la même expression de
que ci-dessus.
Si l’on néglige les masses des planètes relativement à celle du Soleil, on a
la valeur de
est alors la même pour toutes les planètes ;
est donc proportionnel alors à
et par conséquent les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. On voit que la même loi a lieu dans le mouvement des satellites autour de leur planète, en négligeant leurs masses relativement à celle de la planète.