En les supposant toutes nulles, 1o à l’exception de
2o à l’exception de
3o à l’exception de
etc., et restituant
au lieu de
on aura les intégrales
(P)
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et
étant des constantes arbitraires.
Les équations différentielles (O) ne peuvent avoir que six intégrales distinctes du premier ordre, au moyen desquelles, si l’on élimine les différences
on aura les trois variables
en fonction du temps
; il faut donc qu’au moins l’une des sept intégrales précédentes rentre dans les six autres. On voit même a priori que deux de ces intégrales doivent rentrer dans les cinq autres. En effet, puisque l’élément seul du temps entre dans ces intégrales, elles ne peuvent pas donner les variables
en fonction du temps, et par conséquent elles sont insuffisantes pour déterminer complètement le mouvement de
autour de
Examinons comment ces intégrales n’équivalent qu’à cinq intégrales distinctes.
Si l’on multiplie la quatrième des équations (P) par
et qu’on l’ajoute à la cinquième multipliée par
on aura
![{\displaystyle 0=f{\frac {zdy-ydz}{dt}}+f{\frac {xdz-zdx}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5185d613727b7dd95538026b258f6dd3abd44133)
![{\displaystyle +z{\frac {xdy-ydx}{dt}}\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdy-ydx}{dt}}\left({\frac {xdxdz}{dt^{2}}}+{\frac {ydydz}{dt^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5563f882271692faff4e8ceede397252b3f77d58)