équations (I’) deviendra
![{\displaystyle 0=x'{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial x}}+y'{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial y}}+z'{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d404dc3c44a349c36784f84ecc2f6516af5e96f3)
La valeur précédente de
satisfait encore à cette équation. La quatrième des équations (I’) devient
![{\displaystyle 0=x'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial x}}+y'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial y}}+z'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfb7aa427b63ff8e2ed578c49d7cf6b05ad93f7)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\rm {{U''=fonct}.(xy'-yx',xz'-zx',yz'-zy',x',y',z').}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38a032b2d14c2e509ac02dbdff17e730cb0eb6)
Cette fonction doit satisfaire à la seconde des équations (I’), et le premier membre de cette équation multipliée par
est évidemment égal à
le second membre doit donc être la différentielle exacte d’une fonction de
Or il est facile de voir que l’on satisfait à la fois à cette condition, à la nature de la fonction
et à la supposition que cette fonction doit être du second ordre en
en faisant
![{\displaystyle {\rm {{U}''=({\rm {{D}y'-{\rm {{E}x')(xy'-yx')+({\rm {{D}z'-{\rm {{F}x')(xz'-zx')}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1382e7b8ae1508eb4752b9eeb10dcb757d4eb85e)
![{\displaystyle +({\rm {{E}z'-{\rm {{F}y')(yz'-zy')+{\rm {{G}\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right),}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84077edc94d4ea70d82226cce03885392d569f48)
étant des constantes arbitraires, et alors,
étant égal à
on a
![{\displaystyle {\rm {{U}=-{\frac {\mu }{r}}\left(Dx+Ey+Fz+2G\right)\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e712c7355e5f3a0c6d83d620d7c4ca77dba32a)
on aura donc ainsi les valeurs de
et l’équation
deviendra
![{\displaystyle {\rm {{const.}=-{\frac {\mu }{r}}\left(Dx+Ey+Fz+2G\right)+\left(A+Dy'-Ex'\right)(xy'-yx')}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deda1b6696d85146a76e562a7131e71fd1bce8ce)
![{\displaystyle +\left({\rm {{B+D}z'-{\rm {{F}x'}}}}\right)(xz'-zx')+\left({\rm {{C+E}z'-{\rm {{F}y'}}}}\right)(yz'-zy')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb522d553a7ae4b645ddd0986f80884a862c6fd)
![{\displaystyle +{\rm {{G}\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right).}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6089058c20fa749e20501057438f76c8c3010ea)
Cette équation satisfait à l’équation (I), et par conséquent aux équations différentielles (O), quelles que soient les arbitraires ![{\displaystyle {\rm {{A,B,C,D},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfaf6f20c7ff69a013cd2238f648a9aa2f0d1869)