sinus et cosinus de l’angle
et de ses multiples. Cela posé, on trouvera
![{\displaystyle \sin nt+{\frac {e}{1.2}}\sin ^{2}nt+{\frac {e^{2}}{1.2.3}}\sin ^{3}nt+{\frac {e^{3}}{1.2.3.4}}\sin ^{4}nt+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5b6428787f316c3e528179194da27cbd6788f5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=&\sin nt-{\frac {e}{1.2.2}}(\cos 2nt-1)\\\\&-{\frac {e^{2}}{1.2.3.2^{2}}}(\sin 3nt-3\sin nt)\\\\&+{\frac {e^{3}}{1.2.3.4.2^{3}}}\left(\cos 4nt-4\cos 2nt+{\frac {1}{2}}.{\frac {4.3}{1.2}}\right)\\\\&+{\frac {e^{4}}{1.2.3.4.5.2^{4}}}\left(\sin 5nt-5\sin 3nt+{\frac {5.4}{1.2}}\sin nt\right)\\\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.5.6.2^{5}}}\left(\cos 6nt-6\cos 4nt+{\frac {6.5}{1.2}}\cos 2nt-{\frac {1}{2}}.{\frac {6.5.4}{1.2.3}}\right)\\&-\ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c8de1d3c2b758651de4aacb25a553445da5d83)
Soit
cette fonction ; on la multipliera par
et l’on différentiera chacun de ses termes, par rapport à
un nombre de fois indiqué par la puissance de
qui le multiplie,
étant supposé constant ; on divisera ces différentielles par la puissance correspondante de
Soit
la somme de ces différentielles ainsi divisées ; la formule (q) deviendra
![{\displaystyle \psi (u)=\psi (nt)+e\mathrm {P} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a99286b79c5d385c1bd49f7a4ebf4dfb8cbe360)
Il sera facile d’obtenir par cette méthode les valeurs de l’angle
et des sinus et cosinus de cet angle et de ses multiples. En supposant, par exemple,
on aura
On multipliera la valeur précédente de
par
et l’on développera ce produit en sinus et cosinus de l’angle
et de ses multiples. Les termes multipliés par les puissances paires de
seront des sinus, et les termes multipliés par les puissances impaires seront des cosinus. On changera ensuite un terme quelconque de la forme
dans
le signe
ayant lieu si
est pair, et le signe
ayant lieu si
est impair. On changera pareillement un terme quelconque de la forme
dans
le signe-ayant lieu si
est