![{\displaystyle v-{\text{ϐ}}=v_{1}-\theta +\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2(v_{1}-\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 4(v_{1}-\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11993eb7b2a10a747a5bb8c186fffe21d816c21c)
![{\displaystyle +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 6(v_{1}-\theta )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f813f15f2a4a420da33f8714f36538ec62ec0bc4)
On voit ainsi que les deux séries précédentes se changent réciproquement l’une dans l’autre, en changeant le signe de
et en changeant l’un dans l’autre les angles
et
On aura
en fonction de sinus et de cosinus de
et de ses multiples, en observant que l’on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle v=nt+\varepsilon +e\mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac88e9aa7a5c5893a0f4dbb8d8087af99334f818)
étant une fonction des sinus de l’angle
et de ses multiples, et que la formule (1) du no 21 donne, quel que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin i(v-{\text{ϐ}})&=\sin i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}}+e\mathrm {Q} )\\\\&=\left(1-{\frac {i^{2}e^{2}\mathrm {Q} ^{2}}{1.2}}+{\frac {i^{4}e^{4}\mathrm {Q} ^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots \right)\sin i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}})\\\\&+\left(ie\mathrm {Q} -{\frac {i^{3}e^{3}\mathrm {Q} ^{3}}{1.2.3}}+{\frac {i^{5}e^{5}\mathrm {Q} ^{5}}{1.2.3.4.5}}-\ldots \right)\cos i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d294839faa2e452c04ed4582486f527e970c9826)
Enfin,
étant la tangente de la latitude de la planète au-dessus du plan fixe, on a
![{\displaystyle s=\operatorname {tang} \varphi \sin(v_{1}-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d01c9cd40d06a65feb6b3c0de8a05478999b51)
et, si l’on nomme
le rayon vecteur
projeté sur le plan fixe, on aura
![{\displaystyle r_{1}=r\left(1+s^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=r\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {3}{8}}s^{4}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9ee1e8c4d0cb28388ac6111639d3afad6bc2e6)
on pourra donc ainsi déterminer
et
, en séries convergentes de sinus et de cosinus de l’angle
et de ses multiples.
23. Considérons présentement les orbites fort excentriques, telles que celles des comètes, et pour cela reprenons les équations du no 20
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos v}},\\\\nt&=u-e\sin u,\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d726b5036771c8b4f52f20547cee739ce4bfee73)