Dans le cas des orbites fort excentriques,
diffère très-peu de l’unité ; nous supposerons ainsi
étant fort petit. Si l’on nomme
la distance périhélie de la comète, on aura
; l’expression de
deviendra donc
![{\displaystyle r={\frac {(2-\alpha )\mathrm {D} }{2\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v-\alpha \cos v}}={\frac {\mathrm {D} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v\left(1+{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643f2b0efcef3aea45ed297e31e5adbc2ca772c8)
ce qui donne, en réduisant en série,
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {D} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v}}\left[1-{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c00eb97083525097f0ccdd4b089503efeb7924)
Pour avoir le rapport de
au temps
nous observerons que l’expression de l’arc par la tangente donne
![{\displaystyle u=2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\left(1-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}u-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8499b2366e228338f3940c4a30aaa05dbe35af77)
or on a
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac55c06b10217a2704005bb22b60b85e3903f46a)
on aura donc
![{\displaystyle u=2{\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a710d4caec7aabaad96017f081070b91874c5d7)
![{\displaystyle \times \left[1-{\frac {1}{3}}{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{5}}\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49cdc8d706e30a21686a083241b00a05a21d946)
on a ensuite
![{\displaystyle \sin u={\frac {2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u}}=2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\left[1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}u-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfd500094f7bc40f07e1f5e2523383ce79bc5cd)
d’où l’on tire
![{\displaystyle e\sin u=2(1-\alpha ){\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163e912bd81cb12a5751e8f6db25c04814198b56)
![{\displaystyle \times \left[1-{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1689642025e26389d289fac46b3831d92a36b21)
En substituant ces valeurs de
et de
dans l’équation
![{\displaystyle nt=u-e\sin u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42473a4c0afb4086294844bc9e680f2eaf03d16)
on aura le temps
en fonction de l’anomalie
par une suite très-con-