hélie ; soit
cette anomalie, et
l’anomalie vraie dans l’ellipse, correspondante au même temps,
étant un très-petit angle. Si l’on substitue dans l’équation précédente
au lieu de
et que l’on réduise le second membre en série ordonnée par rapport aux puissances de
on aura, en négligeant le carré de
et le produit de
par ![{\displaystyle 1-e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50ad55c925621f5ef953302999c23a7c8865b7a)
![{\displaystyle t={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\mu }}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {x}{2\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} }}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c824fc5991e19fb3f9d355b4594a02a5a68ec8b)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1-e}{4}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898fd18ce6b2d7a42701b00afdc9b82dc9370670)
mais on a, par la supposition,
![{\displaystyle t={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\mu }}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fa98afa223e4840b6714ab3b5e3412386e3855)
on aura donc, en substituant au lieu du petit arc
son sinus,
![{\displaystyle \sin x={\frac {1}{10}}(1-e)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(4-3\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -6\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28043ea6d9273a4977b087c8fdd5dc32d80b077)
Ainsi, en formant une Table des logarithmes de la quantité
![{\displaystyle {\frac {1}{10}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(4-3\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -6\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4e66945331a2060aaafb0fa760a3eff0884522)
il suffira de leur ajouter le logarithme de
pour avoir celui de
; on aura par conséquent la correction à faire à l’anomalie
calculée dans la parabole, pour avoir l’anomalie correspondante dans une ellipse fort excentrique.
24. Il nous reste à considérer le mouvement dans une orbite hyperbolique. Pour cela, nous observerons que, dans l’hyperbole, le demi-grand axe
devient négatif, et l’excentricité
surpasse l’unité. En faisant donc, dans les équations (f) du no 20,
et
et en substituant au lieu des sinus et des cosinus leurs valeurs en exponentielles imaginaires, la première de ces équations donnera
![{\displaystyle {\frac {t{\sqrt {\mu }}}{a'^{\frac {3}{2}}}}={\frac {e}{2}}\left(c^{u'}-c^{-u'}\right)-u'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e346ece645949cf99a944aefef9e1cfd1ffaf5c3)