en substituant dans cette équation, au lieu de
sa valeur
![{\displaystyle -{\frac {\rho }{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}\left[\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)+\mu '\sin(\mathrm {A} -\alpha )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1e359b86e31bd61570647c64a5ce326ef36a7e)
trouvée dans le no 31; en faisant ensuite
![{\displaystyle 4\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\mathrm {B} =4\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{4}+\left[\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)+\mu '\sin(\mathrm {A} -\alpha )\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7026d2d2eb91e1a08763a6095500b0067bbe62c0)
![{\displaystyle +\left[\operatorname {tang} \theta \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)+\mu '\operatorname {tang} \theta \sin(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}{\cos ^{2}\theta }}\right]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef08f962c4da042769d5c7408d5ca5aa339cc85)
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)+\mu '\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}\left[{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}-(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ae89397615886a44dc7c22dc1bc49fb2039c24)
![{\displaystyle +2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a7ee1dfb3041025a8f64fc38eac758dfba2410)
on aura
![{\displaystyle 0=\mathrm {B} \rho ^{2}+\mathrm {C} \rho +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2bf86a0e462575cc3589e653952e4066a25f64)
et par conséquent
![{\displaystyle r^{2}\left(\mathrm {B} \rho ^{2}+\mathrm {C} \rho +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}=4\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20e1b7e5db09719b7c4dfa947e7a39a947355ab)
cette équation n’est que du sixième degré, et, sous ce rapport, elle est plus simple que l’équation (4) du no 31; mais elle est particulière à la parabole, au lieu que l’équation (4) s’étend à toute espèce de section conique.
35. On voit par l’analyse précédente que, la détermination des orbes paraboliques des comètes conduisant à plus d’équations que d’inconnues, on peut, en combinant diversement ces équations, former autant de méthodes différentes pour calculer ces orbes. Examinons celles dont on doit attendre le plus de précision dans les résultats, ou qui participent le moins aux erreurs des observations.