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C’est principalement sur les valeurs des différences secondes $\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$ que ces erreurs ont une influence sensible ; en effet, il faut, pour les déterminer, prendre les différences finies des longitudes et des latitudes géocentriques de la comète, observées dans un court intervalle de temps ; or, ces différences étant moindres que les différences premières, les erreurs des observations en sont une plus grande partie aliquote ; d’ailleurs, les formules du n^o 29, qui déterminent, par la comparaison des observations, les valeurs de $\alpha ,\theta ,\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right),\left({\frac {d\theta }{dt}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right),$ donnent avec plus de précision les quatre premières de ces quantités que les deux dernières ; il y a donc de l’avantage à s’appuyer le moins qu’il est possible sur les différences secondes de $\alpha$ et de $\theta$ ; et, comme on ne peut pas les rejeter toutes deux à la fois, la méthode qui n’emploie que la plus grande doit conduire aux résultats les plus précis. Cela posé :

Reprenons les équations trouvées dans les n^o 31 et 34,

(L)

$\left\{{\begin{aligned}r^{2}&={\frac {\rho ^{2}}{\cos ^{2}\theta }}+2\mathrm {R} \rho \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2},\\\\\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)&={\frac {R\sin(A-\alpha )}{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)-{\frac {\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)}{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}},\\\\\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)&=-{\frac {1}{2}}\rho \left[{\frac {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}}+2\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)\operatorname {tang} \theta +{\frac {\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta }{\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}}\right]\\\\&+{\frac {\mathrm {R} \sin \theta \cos \theta \cos(\mathrm {A} -\alpha )}{2\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right),\\\\0&=\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2}+\rho ^{2}\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+\left[\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\operatorname {tang} \theta +{\frac {\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}{\cos ^{2}a\theta }}\right]^{2}\\\\&+2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\\\&+2\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}.\end{aligned}}\right.$