que dans le cas où
sont nuls, avec la seule différence que les arbitraires
doivent être changées dans
![{\displaystyle c-\alpha \int dt\mathrm {(FQ+F'Q'} +\ldots ),\qquad c'-\alpha \int dt\mathrm {(HQ+H'Q'} +\ldots ),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e04a61b695a6153c3f2affb9b67d1b09c844da0)
Or, si, dans la supposition de
égaux à zéro, on élimine des
intégrales de l’ordre
les différences des variables
on aura les
intégrales finies des équations proposées ; on aura donc ces mêmes intégrales, lorsque
ne sont pas nuls, en changeant dans les premières intégrales
dans ![{\displaystyle c-\alpha \int dt{\rm {(FQ+\ldots ),}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9124070eb8038863f74b78b0095afbe72b8ec074)
![{\displaystyle \ c'-\alpha \int dt{\rm {(HQ+\ldots ),\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4fd45956e5c8922115e216d6c5ece2dd6cd8e7)
41. Si les différentielles
![{\displaystyle dt{\rm {(FQ+F'Q'}}+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ+H'Q'}}+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b51b424782aa324f0e7031e9858f8b6075c520)
sont exactes, on aura par la méthode précédente les intégrales finies des équations différentielles proposées ; mais cela n’a lieu que dans quelques cas particuliers, dont le plus étendu et le plus intéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Supposons ainsi
fonctions linéaires de
et de leurs différences jusqu’à l’ordre
sans aucun terme indépendant de ces variables, et considérons d’abord le cas dans lequel
sont nuls. Les équations différentielles étant linéaires, leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorte que,
étant les
intégrales de
des équations différentielles linéaires
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1b2d8a54da12f59462c4006cc1afb443763556)
peuvent être supposés des fonctions linéaires de
et de leurs différences jusqu’à l’ordre
. Pour le faire voir, supposons, dans les expressions de
, la constante arbitraire
égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée
; la constante arbitraire
égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée
etc.; en réduisant ces expressions en séries ordonnées par rapport aux puis-