que dans le cas où sont nuls, avec la seule différence que les arbitraires doivent être changées dans
Or, si, dans la supposition de égaux à zéro, on élimine des intégrales de l’ordre les différences des variables on aura les intégrales finies des équations proposées ; on aura donc ces mêmes intégrales, lorsque ne sont pas nuls, en changeant dans les premières intégrales dans
41. Si les différentielles
sont exactes, on aura par la méthode précédente les intégrales finies des équations différentielles proposées ; mais cela n’a lieu que dans quelques cas particuliers, dont le plus étendu et le plus intéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Supposons ainsi fonctions linéaires de et de leurs différences jusqu’à l’ordre sans aucun terme indépendant de ces variables, et considérons d’abord le cas dans lequel sont nuls. Les équations différentielles étant linéaires, leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorte que, étant les intégrales de des équations différentielles linéaires
peuvent être supposés des fonctions linéaires de et de leurs différences jusqu’à l’ordre . Pour le faire voir, supposons, dans les expressions de , la constante arbitraire égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée ; la constante arbitraire égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée etc.; en réduisant ces expressions en séries ordonnées par rapport aux puis-