etc. sont des fonctions de
et de leurs différences jusqu’à l’ordre
: il est facile de les déterminer lorsque
sont connus ; car
est évidemment le coefficient de
dans la différentielle de
est le coefficient de
dans la même différentielle, et ainsi de suite. Pareillement,
sont les coefficients de
dans la différentielle de
etc. Ainsi, puisque l’on est supposé connaître les fonctions
, en les différentiant uniquement par rapport à
on aura les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations différentielles
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1b2d8a54da12f59462c4006cc1afb443763556)
pour avoir des différences exactes. Cela posé :
Reprenons les équations différentielles
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} +\alpha \mathrm {Q} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} '+\alpha \mathrm {Q} ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076635bbd4dcc2e6bb17f77830a33c131a94e090)
Si l’on multiplie la première par
la seconde par
et ainsi du reste, on aura, en les ajoutant,
![{\displaystyle 0=d\mathrm {V} +\alpha dt{\rm {(FQ+F'Q'+\ldots ),}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70716f0b627425a4ac971484fda8b5336f9ffb2d)
on aura de la même manière
![{\displaystyle 0=d\mathrm {V} '+\alpha dt{\rm {(HQ+H'Q'+\ldots ),}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29575b0a369dfc9aaa6fc10e124d3bc185572fdc)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&c\ -\alpha \int dt{\rm {(FQ+F'Q'+\ldots )=V,}}\\&c'-\alpha \int dt{\rm {(HQ+H'Q'+\ldots )=V',}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81949b45d36e29a04d2894d89fab50507d7f1a74)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On aura ainsi
équations différentielles qui seront de la même forme