nous fournir le moyen d’en faire disparaître les arcs de cercle hors des signes périodiques.
Donnons à la seconde expression de
la forme suivante
![{\displaystyle y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f020ebb1a62a733418efda9d418d0c26e1db93)
Puisque nous supposons que
disparaît de
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle R={\frac {\partial X}{\partial \theta }}+(t-\theta ){\frac {\partial R}{\partial \theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfd890f7694e59073311460823b371c2e8520a0)
En différentiant successivement cette équation, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2{\frac {\partial R}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}X}{\partial \theta ^{2}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{2}R}{\partial \theta ^{2}}},\\\\&3{\frac {\partial ^{2}R}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{3}X}{\partial \theta ^{3}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{3}R}{\partial \theta ^{3}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e09b27558a8a59a7ad81473c46a29b57b3a8dea)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d’où il est facile de conclure, en éliminant
et ses différentielles de l’expression précédente de ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle y=\mathrm {X} +(t-\theta ){\frac {\partial X}{\partial \theta }}+{\frac {(t-\theta )^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {(t-\theta )^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}X}{\partial \theta ^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b576b4cf28c44b577f48b63601089102fcbf3c4)
est fonction de
et des constantes
et, comme ces constantes sont fonctions de
est une fonction de
et de
que nous pouvons représenter par
L’expression de
est, par la formule (i) du no 21, le développement de la fonction
suivant les puissances de
; on a donc
; d’où il suit que l’on aura
en changeant
en
dans
Le problème se réduit ainsi à déterminer
en fonction de
et de
et par conséquent à déterminer
en fonction de ![{\displaystyle \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e8402f1cbddec479b88e2ff0d1be5e9b95bd7)
Pour cela, reprenons l’équation
![{\displaystyle y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +(t-\theta )^{3}\mathrm {S} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95713157f4de5bba89ce95d69b8df942fc9f45b4)
Puisque la constante
est supposée disparaître de cette expression de ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)