les mêmes fonctions de
et des paramètres
; soit donc
une fonction quelconque des variables
et de leurs différentielles inférieures à l’ordre
, et nommons
la fonction de
dans laquelle elle se change, lorsque l’on y substitue, au lieu de ces variables et de leurs différences, leurs valeurs en
On pourra difTérentier l’équation
en y regardant les paramètres
comme constants ; on pourra même ne prendre que la différence partielle de
relativement à une seule ou à plusieurs des variables
pourvu que l’on ne fasse varier dans
que ce qui varie avec elles. Dans toutes ces différentiations, les paramètres
peuvent toujours être traités comme constants, puisqu’en substituant, pour
et leurs différences, leurs valeurs en
on aura des équations identiquement nulles, dans les deux cas de
nul et de
quelconque.
Lorsque les équations différentielles sont de l’ordre
, il n’est plus permis, en les différentiant, de traiter les paramètres
comme constants. Pour différentier ces équations, considérons l’équation
étant une fonction différentielle de l’ordre
et qui renferme les paramètres
; soit
la différence de cette fonction, prise en regardant
comme constants, ainsi que les différences
Soit
le coefficient de
dans la différence entière de
; soit
le coefficient de
dans cette même différence, et ainsi du reste. L’équation
différentiée, donnera
![{\displaystyle 0=\delta \varphi +{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +\mathrm {S} {\frac {d^{i}y}{dt^{i-1}}}+\mathrm {S} '{\frac {d^{i}y'}{dt^{i-1}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6220d5735b4f5f0799dc7cda2c47f5601105fe21)
En substituant au lieu de
sa valeur
au lieu de
sa valeur
on aura
(t)
![{\displaystyle \quad 0=\delta \varphi +{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2518b47a94c2cb9c2b5fd42931909366d89131)
![{\displaystyle -\alpha dt({\rm {SQ+S'Q'+\ldots }}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5836decc91e1bc9595e76bee4ecfdb6550aa31e)
Dans la supposition de
nul, les paramètres
sont constants ; on a ainsi
![{\displaystyle 0=\delta \varphi -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450e4249a34bbb79012415e2518e08010adca251)