Pour que ces séries soient convergentes, il faut que
soit moindre que l’unité ; c’est ce que l’on peut toujours faire, en prenant pour
le rapport de la plus petite des distances
et
à la plus grande ; ainsi, ayant supposé
nous supposerons
plus petit que ![{\displaystyle a'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1287f762da3daab8ee54c0fb0f555630d532583)
Dans la théorie du mouvement des corps
on a besoin de connaître les valeurs de
et de
lorsque
et
Dans ces deux cas, ces valeurs sont peu convergentes, si
n’est pas une petite fraction. Ces séries convergent avec plus de rapidité, lorsque
et l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}&=1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\left({\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\right)^{2}\alpha ^{8}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots ,\\\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}&=-\alpha \left(1-{\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}-{\frac {1}{4}}{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.3}{4.6}}.{\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {1.3.5}{4.6.8}}.{\frac {1.1.3.5.7}{2.4.6.8.10}}\alpha ^{8}-\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c589e446c5fdbbfa78ea466844baf8e39ff44b1d)
Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est
Lorsque l’on aura ainsi déterminé
et
on aura
en faisant
et
dans la formule {b), et l’on trouvera
![{\displaystyle b_{\frac {1}{2}}^{(0)}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead2937504617c262ffd4befc7413b256a51e838)
Si, dans la formule (c), on suppose
et
on aura
![{\displaystyle b_{\frac {1}{2}}^{(1)}={\frac {2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2ef596bcca04bf13fb8b10564c144859754dd4)
Au moyen de ces valeurs de
et de
on aura, par les formules précédentes, les valeurs de
et de ses différences, quel que soit le nombre
et l’on en conclura les valeurs de
et de ses différences.