Les valeurs de
et de
peuvent être déterminées fort simplement par les formules suivantes :
![{\displaystyle b_{\frac {3}{2}}^{(0)}={\frac {b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\qquad b_{\frac {3}{2}}^{(1)}=-3{\frac {b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc322e2a416f51adf6a93c7d32594f09969eb8a7)
Maintenant, pour avoir les quantités
et leurs différences, on observera que, par le numéro précédent, la série
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\rm {A^{(0)}+A^{(1)}\cos \theta +A^{(2)}\cos 2\theta +\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba40db398eb5e6fbeaa65dd09a91a20114103aa)
résulte du développement de la fonction
![{\displaystyle {\frac {a\cos \theta }{a'^{2}}}-\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af3ed73e148e5f4cf41fb119bbd935faecd6eae)
dans une suite de cosinus de l’angle
et de ses multiples ; en faisant
cette même fonction se réduit à
![{\displaystyle -{\frac {1}{2a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}+\left({\frac {a}{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}\right)\cos \theta -{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}\cos 2\theta -\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8916413daa495036105833a8be22353e8fe9e0f)
ce qui donne généralement
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{(i)}=-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baedcfcda266cf72c1c2cef003dd2883156c66a4)
lorsque
est zéro ou plus grand que
abstraction faite du signe. Dans le cas de
on a
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{(1)}={\frac {a}{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00d3809c1f0baf5de093678c22effa61c834b6a)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'}}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }}{\frac {\partial \alpha }{\partial a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0946cea53101c41eb635d21b96900acacbaceaa)
or on a
partant
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d19ddeff59ef564a87ef43e50b842c382978dc)