La considération de l’expression de
nous ayant suffi pour déterminer les valeurs de
et
, on voit a priori que les équations différentielles entre les mêmes quantités, qui résultent de l’expression de
doivent coïncider avec les précédentes. C’est ce dont il est facile de s’assurer a posteriori, en appliquant à cette expression la méthode du no 43.
Considérons maintenant l’expression de
En la comparant à celle de
du numéro cité, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X}}&=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon )+m'\chi ,\\{\rm {Y}}&={\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p')\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q')\cos(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45da6d0adf6298c791d310928c9401e4e728c3d1)
et
étant constants, par ce qui précède, on aura, par le no 43,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {X}}'&={\frac {dq}{d\theta }}\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {dp}{d\theta }}\cos(nt+\varepsilon ),\\{\rm {X}}''&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5d76ad4ad181fef5c2288a40373c145a3ab8aa)
L’équation
devient ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0={\frac {dq}{d\theta }}\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {dp}{d\theta }}\cos(nt+\varepsilon )\\&-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p')\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q')\cos(nt+\varepsilon )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be1e0d5a5a9421f4c81861361dfacd708fbeab4)
d’où l’on tire, en comparant les coefficients des sinus et des cosinus semblables, et en changeant
en
pour avoir directement
et
en fonctions de t,
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