Les quantités
et
et
ont entre elles des rapports remarquables qui peuvent en faciliter le calcul, et qui nous seront utiles dans la suite. On a, par ce qui précède,
![{\displaystyle (0,\ 1)=-{\frac {3m'na^{2}a'(a,a')'}{4\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887dc266038da063e2fafd1030823eb06d7697a6)
Si, dans cette expression de
on change
en
en
en
et réciproquement, on aura l’expression de
qui sera par conséquent
![{\displaystyle (1,\ 0)=-{\frac {3mn'a'^{2}a(a',\ a)'}{4\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac007d99c25eae48ac657622763b243a1ccf1ed)
mais on a
puisque l’une et l’autre de ces quantités résulte du développement de la fonction
dans une série ordonnée suivant les cosinus de l’angle
et de ses multiples ; on aura donc
![{\displaystyle (0,\ 1)mn'a'=(1,\ 0)m'na\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41a4b43b3ff823a00afcc6506b81213dcfc653d)
or on a, en négligeant les masses
vis-à-vis de ![{\displaystyle {\rm {M,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8855b6e960fc1a0bc42734fce07906beba4dc35)
![{\displaystyle n^{2}={\frac {\rm {M}}{a^{3}}},\qquad n'^{2}={\frac {\rm {M}}{a'^{3}}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292650de7909865cd01d153ba863798cc04805f2)
partant
![{\displaystyle (0,\ 1)m{\sqrt {a}}=(1,\ 0)m'{\sqrt {a'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85bdb1f299af4017820842701419cbd62c4e3f2)
équation d’où l’on tirera facilement
lorsques
sera déterminé. On trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}m{\sqrt {a}}={\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}m'{\sqrt {a'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91add870b58544f745455c334db0375fd1db49fe)
Ces deux équations subsisteraient encore dans le cas où
et
auraient des signes contraires, c’est-à-dire si les deux corps
et
circulaient en différents sens ; mais alors il faudrait donner le signe de
au radical
et le signe de
au radical ![{\displaystyle a{\sqrt {a'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87286929e514a3dab6e2493fb399e442421c10a7)