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ce qui donne, en intégrant,

(1)

const.$=qm{\sqrt {a}}+q'm'{\sqrt {a'}}+\ldots$

On trouvera de la même manière

(2)

const.$=pm{\sqrt {a}}+p'm'{\sqrt {a'}}+\ldots$

Nommons $\varphi$ l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur le plan fixe, et $\theta$ la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le même plan ; la latitude de $m$ sera à très-peu près $\operatorname {tang} \varphi \sin(nt+\varepsilon -\theta ).$ En comparant cette valeur à celle-ci $q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon ),$ on aura

$p=\operatorname {tang} \varphi \sin \theta ,\qquad q=\operatorname {tang} \varphi \cos \theta ,$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\qquad \operatorname {tang} \theta ={\frac {p}{q}}\,;$

on aura donc l’inclinaison de l’orbite de $m$ et la position de son nœud, au moyen des valeurs de $p$ et de $q.$ En marquant successivement d’un trait, de deux traits, etc., relativement à $m',m'',\ldots$, les valeurs de $\operatorname {tang} \varphi$ et de $\operatorname {tang} \theta ,$ on aura les inclinaisons des orbites de $m',m'',\ldots ,$ et les positions de leurs nœuds, au moyen des quantités $p',q',p'',q'',\ldots .$

La quantité ${\sqrt {p^{2}+q^{2}}}$ est moindre que la somme ${\rm {N+N_{1}+N_{2}+\ldots }}$ des coefficients des sinus de l’expression de $p$ ; ainsi, ces coefficients étant fort petits, puisque l’orbite est supposée peu inclinée au plan fixe, son inclinaison sur ce plan sera toujours peu considérable, d’où il suit que le système des orbites est aussi stable relativement à leurs inclinaisons que par rapport à leurs excentricités. On peut donc considérer les inclinaisons des orbites comme des quantités variables comprises entre des limites déterminées, et les mouvements des nœuds comme n’étant pas uniformes. Ces variations sont très-sensibles dans les satellites de Jupiter, et nous verrons dans la suite qu’elles expliquent les phénomènes singuliers observés dans l’inclinaison de l’orbite du quatrième satellite.