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Des expressions précédentes de petdeq résulte ce théorème : Que l’on imagine un cercle dont l’inclinaison au plan fixe soit ${\rm {N,}}$ et dont $gt-{\text{ϐ}}$ soit la longitude du nœud ascendant ; que sur ce premier cercle on imagine un second cercle qui lui soit incliné de ${\rm {N_{1},}}$ et dont $g_{1}t-{\text{ϐ}}_{1}$ soit la longitude de son intersection avec le premier cercle ; que sur ce second cercle on imagine un troisième cercle qui lui soit incliné de ${\rm {N_{2},}}$ et dont $g_{2}t-{\text{ϐ}}_{2}$ soit la longitude de son intersection avec le second cercle, et ainsi de suite ; la position du dernier cercle sera celle de l’orbite de $m.$

En appliquant la même construction aux expressions de $h$ et de $l$ du n^o 56, on voit que la tangente de l’inclinaison du dernier cercle sur le plan fixe est égale à l’excentricité de l’orbite de $m,$ et que la longitude de l’intersection de ce cercle avec le même plan est égale à celle du périhélie de l’orbite de $m.$

60. Il est utile, pour les usages astronomiques, d’avoir les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites. Pour cela, reprenons les équations du numéro précédent,

$\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\qquad \operatorname {tang} \theta ={\frac {p}{q}}.$

En les différentiant, on aura

${\begin{aligned}d\varphi &=dp\sin \theta +dq\cos \theta ,\\d\theta &={\frac {dpcon\theta -dq\sin \theta }{\operatorname {tang} \varphi }}\end{aligned}}$

Si l’on substitue pour $dp$ et $dq$ leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}&=(0,\ 1)\operatorname {tang} \varphi '\sin(\theta -\theta ')+(0,\ 2)\operatorname {tang} \varphi ''\sin(\theta -\theta '')+\ldots \\{\frac {d\theta }{dt}}&=-\left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]+(0,\ 1){\frac {\operatorname {tang} \varphi '}{\operatorname {tang} \varphi }}\cos(\theta -\theta ')\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(0,\ 2){\frac {\operatorname {tang} \varphi ''}{\operatorname {tang} \varphi }}\cos(\theta -\theta '')+\ldots \,;\end{aligned}}$