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on aura pareillement

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi '}{dt}}&=(1,\ 0)\operatorname {tang} \varphi \sin(\theta '-\theta )+(1,\ 2)\operatorname {tang} \varphi ''\sin(\theta '-\theta '')+\ldots \\{\frac {d\theta '}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]+(1,\ 0){\frac {\operatorname {tang} \varphi }{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(1,\ 2){\frac {\operatorname {tang} \varphi ''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta '')+\ldots \,;\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les astronomes rapportent les mouvements célestes à l’orbite mobile de la Terre ; c’est, en effet, du plan de cette orbite que nous les observons ; il importe donc de connaître les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l’écliptique. Supposons ainsi que l’on veuille déterminer les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l’orbite de l’un des corps $m,m',m'',\ldots ,$ par exemple, à l’orbite de $m.$ Il est clair que

$q\sin(n't+\varepsilon ')-p\cos(n't+\varepsilon ')$

serait la latitude de $m'$ au-dessus du plan fixe, s’il était en mouvement sur l’orbite de $m.$ Sa latitude au-dessus du même plan est

$q'\sin(n't+\varepsilon ')-p'\cos(n't+\varepsilon ')\,;$

or la différence de ces deux latitudes est à très-peu près la latitude de $m'$ au-dessus de l’orbite de $m$ ; en nommant donc $\varphi '_{1},$ l’inclinaison, et $\theta '_{1}$ la longitude du nœud de l’orbite de $m'$ sur l’orbite de $m,$ on aura, par ce qui précède,

$\operatorname {tang} \varphi '_{1}={\sqrt {(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}}},\qquad \operatorname {tang} \theta '_{1}={\frac {p'-p}{q'-q}}.$

Si l’on prend pour plan fixe celui de l’orbite de $m$ à une époque donnée, on aura à cette époque $p=0,\ q=0\,;$ mais les différentielles $dp$ et $dq$ ne seront pas nulles ; ainsi l’on aura

${\begin{aligned}d\varphi '_{1}&=(dp'-dp)\sin \theta '+(dq'-dq)\cos \theta ',\\d\theta '_{1}&={\frac {(dp'-dp)\cos \theta '-(dq'-dq)\sin \theta '}{\operatorname {tang} \varphi '}}\end{aligned}}$