on aura pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi '}{dt}}&=(1,\ 0)\operatorname {tang} \varphi \sin(\theta '-\theta )+(1,\ 2)\operatorname {tang} \varphi ''\sin(\theta '-\theta '')+\ldots \\{\frac {d\theta '}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]+(1,\ 0){\frac {\operatorname {tang} \varphi }{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(1,\ 2){\frac {\operatorname {tang} \varphi ''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta '')+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5035df6f07a6fab0b797e4a01d0d3b3da4597313)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les astronomes rapportent les mouvements célestes à l’orbite mobile de la Terre ; c’est, en effet, du plan de cette orbite que nous les observons ; il importe donc de connaître les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l’écliptique. Supposons ainsi que l’on veuille déterminer les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l’orbite de l’un des corps
par exemple, à l’orbite de
Il est clair que
![{\displaystyle q\sin(n't+\varepsilon ')-p\cos(n't+\varepsilon ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1d6270209103208312400e4d03e8579c46d859)
serait la latitude de
au-dessus du plan fixe, s’il était en mouvement sur l’orbite de
Sa latitude au-dessus du même plan est
![{\displaystyle q'\sin(n't+\varepsilon ')-p'\cos(n't+\varepsilon ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a441a04a9815330d19fe6a230b376dadc65903f5)
or la différence de ces deux latitudes est à très-peu près la latitude de
au-dessus de l’orbite de
; en nommant donc
l’inclinaison, et
la longitude du nœud de l’orbite de
sur l’orbite de
on aura, par ce qui précède,
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varphi '_{1}={\sqrt {(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}}},\qquad \operatorname {tang} \theta '_{1}={\frac {p'-p}{q'-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a25187475615af4d6227786af786dca42360f3)
Si l’on prend pour plan fixe celui de l’orbite de
à une époque donnée, on aura à cette époque
mais les différentielles
et
ne seront pas nulles ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi '_{1}&=(dp'-dp)\sin \theta '+(dq'-dq)\cos \theta ',\\d\theta '_{1}&={\frac {(dp'-dp)\cos \theta '-(dq'-dq)\sin \theta '}{\operatorname {tang} \varphi '}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271f8c1c60c13dd6fd9fd3ce14ebb39ea9641665)