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MÉCANIQUE CÉLESTE

${\rm {-R}}$ étant alors la résultante de toutes les forces ${\rm {S,S',}}$ …, elle est perpendiculaire à la surface.

Si l’on suppose que les variations arbitraires $\delta x,\delta y,\delta z$ appartiennent à la surface courbe sur laquelle le point est assujetti, on a, par la nature de la perpendiculaire à cette surface, $\delta r=0,$ ce qui fait disparaître $\mathrm {R} \delta r$ de l’équation précédente : l’équation ($b$) a donc encore lieu dans ce cas, pourvu que l’on élimine l’une des trois variations $\delta x,\delta y,\delta z$ au moyen de l’équation à la surface ; mais alors l’équation ($b$), qui dans le cas général équivaut à trois équations, n’équivaut plus qu’à deux équations distinctes, que l’on obtient en égalant séparément à zéro les coefficients des deux différentielles restantes. Soit $u=0$ l’équation de la surface ; les deux équations $\delta r=0$ et $\delta u=0$ auront lieu en même temps, ce qui exige que $\delta r$ soit égal à $\mathrm {N} \delta u,$ ${\rm {N}}$ étant fonction de $x,y,z.$ Pour la déterminer, nommons $a,b,c$ les coordonnées de l’origine de $r\ ;$ on aura

$r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}$

d’où l’on tire $\left({\frac {\partial r}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial r}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial r}{\partial z}}\right)^{2}=1,$ et par conséquent

$\mathrm {N} ^{2}\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}\right]=1\ ;$

en faisant donc

$\lambda ={\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}}}},$

le terme $\mathrm {R} \delta r$ de l’équation ($c$) se changera dans $\lambda \delta u,$ et cette équation deviendra

$0=\Sigma \mathrm {S} \delta s+\lambda \delta u,$

équation dans laquelle on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ ce qui donne trois équations ; mais elles n’équivalent qu’à deux équations entre $x,y,z,$ à cause de l’indéterminée λ qu’elles renferment. On peut donc, au lieu d’éliminer de l’équation ($b$) une des variations $\delta x,\delta y,\delta z$ au moyen de l’équation différentielle à la surface, lui ajouter cette équation multipliée par une indéterminée $\lambda ,$