Mais, dans ce nouvel instant, les vitesses dont le mobile est animé parallèlement aux coordonnées
sont évidemment
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+d{\frac {dx}{dt}},\quad {\frac {dy}{dt}}+d{\frac {dy}{dt}},\quad {\frac {dz}{dt}}+d{\frac {dz}{dt}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d132bf76bd2a79831f804d776e744f9ff7e96c)
les forces
![{\displaystyle -d{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {P} dt,\quad -d{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {Q} dt,\quad -d{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {R} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e04b7f4c9367e83be78bf49ef7b476795afe423)
doivent donc être détruites, en sorte que le mobile M, en vertu de ces forces seules, serait en équilibre. Ainsi, en désignant par
les variations quelconques des trois coordonnées
variations qu’il ne faut pas confondre avec les différences
qui expriment les espaces que le mobile décrit parallèlement aux coordonnées durant l’instant
l’équation (
) du n° 3 deviendra
(f)
|
|
|
Si le point
est libre, on égalera séparément à zéro les coefficients de
et
et l’on aura, en supposant constant l’élément
du temps, les trois équations différentielles
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b8e5a146acfc1137f10f03a2ee074b1b85c0f6)
.
Si le point M n’est pas libre, en sorte qu’il soit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une ligne courbe, on éliminera de l’équation (
), au moyen des équations à la surface ou à la courbe, autant de variations
qu’il y aura d’équations, et l’on égalera séparément à zéro les coefficients des variations restantes.
8. On peut supposer dans l’équation (
) les variations
égales aux différentielles
puisque ces différentielles sont nécessairement assujetties aux conditions du mouvement du mobile M. En faisant cette supposition, et en intégrant ensuite l’équation (
), on aura
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=c+2\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af57b27b235de97e570bf96e3e19bc635523745f)