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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

jettie à la même surface sur laquelle il doit se mouvoir, s’il n’est pas entièrement libre.

Pour le faire voir, nous observerons que, $\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz$ étant supposé une différentielle exacte, l’équation ($g$) donne

$v\delta v=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\ ;$

l’équation ($f$) du numéro précédent devient ainsi

$0=\partial x\cdot d{\frac {dx}{dt}}+\partial y\cdot d{\frac {dy}{dt}}+\partial z\cdot d{\frac {dz}{dt}}-vdt\delta v.$

Nommons $ds$ l’élément de la courbe décrite par le mobile ; nous aurons

$vdt=ds,ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$

partant

(h)

$0=\delta x\cdot d{\frac {dx}{dt}}+\delta y\cdot d{\frac {dy}{dt}}+\delta z\cdot d{\frac {dz}{dt}}-ds\delta v\,;$

en différentiant par rapport à $\delta$ l’expression de $ds,$ on a

$0={\frac {ds}{dt}}\delta ds={\frac {dx}{dt}}\delta dx+{\frac {dy}{dt}}\delta dy+{\frac {dz}{dt}}\delta dz.$

Les caractéristiques $d$ et $\delta$ étant indépendantes, on peut les placer à volonté l’une avant l’autre ; l’équation précédente peut ainsi prendre cette forme

$v\delta ds={\frac {d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt}}-\delta x\cdot d{\frac {dx}{dt}}-\delta y\cdot d{\frac {dy}{dt}}-\delta z\cdot d{\frac {dz}{dt}}\ ;$

en retranchant du premier membre de cette équation le second membre de l’équation ($h$), on aura

$\delta \left(vds\right)={\frac {d\left(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z\right)}{dt}}.$

Cette dernière équation, intégrée par rapport à la caractéristique $d$, donne

$\delta \int vds=\mathrm {const.} +{\frac {(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt}}.$