jettie à la même surface sur laquelle il doit se mouvoir, s’il n’est pas entièrement libre.
Pour le faire voir, nous observerons que,
étant supposé une différentielle exacte, l’équation (
) donne
![{\displaystyle v\delta v=\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e46f122b3aa933d29c9782fafbdad6f3147518)
l’équation (
) du numéro précédent devient ainsi
![{\displaystyle 0=\partial x\cdot d{\frac {dx}{dt}}+\partial y\cdot d{\frac {dy}{dt}}+\partial z\cdot d{\frac {dz}{dt}}-vdt\delta v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd71e171a3e147f74fb9bac4da042c7dd15f997)
Nommons
l’élément de la courbe décrite par le mobile ; nous aurons
![{\displaystyle vdt=ds,ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a01420402b5f47864a54e3bc4a02dce0ac6658)
partant
(h)
|
|
|
en différentiant par rapport à
l’expression de
on a
![{\displaystyle 0={\frac {ds}{dt}}\delta ds={\frac {dx}{dt}}\delta dx+{\frac {dy}{dt}}\delta dy+{\frac {dz}{dt}}\delta dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e307e02629bdc18016a810d306212c67af9cbc5)
Les caractéristiques
et
étant indépendantes, on peut les placer à volonté l’une avant l’autre ; l’équation précédente peut ainsi prendre cette forme
![{\displaystyle v\delta ds={\frac {d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt}}-\delta x\cdot d{\frac {dx}{dt}}-\delta y\cdot d{\frac {dy}{dt}}-\delta z\cdot d{\frac {dz}{dt}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0e9d41fa56858614e4a6b5c6d06cf9caa4aca0)
en retranchant du premier membre de cette équation le second membre de l’équation (
), on aura
![{\displaystyle \delta \left(vds\right)={\frac {d\left(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z\right)}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7387ed13ce44f4e4c1ebf9178a18102b9ca92580)
Cette dernière équation, intégrée par rapport à la caractéristique
, donne
![{\displaystyle \delta \int vds=\mathrm {const.} +{\frac {(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f769ae43923674da8d5a2e1f7f1f7ce688bd1)