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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Si l’on étend l’intégrale à la courbe entière décrite par le mobile, et si l’on suppose les points extrêmes de cette courbe invariables, on aura $\delta \int vds=0\ ;$ c’est-à-dire que, de toutes les courbes suivant lesquelles le mobile assujetti aux forces ${\rm {P,Q,R}}$ peut parvenir d’un point donné à un autre point donné, il décrira celle dans laquelle la variation de l’intégrale $\delta \int vds$ est nulle, et dans laquelle, par conséquent, cette intégrale est un minimum.

Si le point se meut dans une surface courbe, sans être sollicité par aucune force, sa vitesse est alors constante, et l’intégrale $\int vds$ devient $v\int ds\ ;$ ainsi la courbe décrite par le mobile est, dans ce cas, la plus courte que l’on puisse tracer sur la surface, du point de départ au point d’arrivée.

9. Déterminons la pression qu’un point, mû dans une surface, exerce contre elle. Au lieu d’éliminer de l’équation ( $f$ ) du n° 7 une des variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ au moyen de l’équation à la surface, on peut, par le n° 3, ajouter à cette équation l’équation différentielle de la surface, multipliée par une indéterminée $-\lambda dt,$ et considérer ensuite les trois variations $\delta x,\delta y,\delta z$ comme indépendantes. Soit donc $u=0$ l’équation de la surface ; on ajoutera à l’équation ( $f$ ) le terme $-\lambda \delta udt$ , et la pression que le point exerce contre la surface sera, par le n° 3, égale à

\lambda {\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}}}.

Supposons d’abord que le point ne soit sollicité par aucune force, sa vitesse $v$ sera constante ; si l’on observe ensuite que $vdt=ds,$ l’élément $dt$ du temps étant supposé constant, l’élément $ds$ de la courbe décrite le sera pareillement, et l’équation ( $f,$ ) augmentée du terme $-\lambda \delta udt,$ donnera les trois suivantes

0=v^{2}{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}-\lambda {\frac {\partial u}{\partial x}},\quad 0=v^{2}{\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}-\lambda {\frac {\partial u}{\partial y}},\quad 0=v^{2}{\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}-\lambda {\frac {\partial u}{\partial z}},

d’où l’on tire

\lambda {\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}}}={\frac {v^{2}{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}}}}{ds^{2}}}.