Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/65

29

PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

on aura donc, par le n^o 7,

$\mathrm {P} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dx}{dt}},\qquad \mathrm {Q} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dy}{dt}},\qquad \mathrm {R} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dz}{dt}}+g,$

et l’équation $\left(f\right)$ devient

$0=\delta x\left(d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt\right)+\delta y\left(d{\frac {dy}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dy}{ds}}dt\right)+\delta z\left(d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}\,dt-gdt\right).$

Si le corps est entièrement libre, on aura les trois équations

$0=d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt,\ 0=d{\frac {dy}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dy}{dt}},\ 0=d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt.$

Les deux premières donnent

${\frac {dy}{dt}}d{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}d{\frac {dy}{dt}}=0,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$dx=fdy,$

$f$ étant une constante arbitraire. Cette équation est celle d’une droite horizontale ; ainsi le corps se meut dans un plan vertical. En prenant ce plan pour celui des $x$ et des $z,$ on aura $y=0\ ;$ les deux équations

$0=d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt,\qquad 0=d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt$

donneront, en faisant $dx$ constant,

${\text{ϐ}}={\frac {dsd^{2}t}{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}z}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dzd^{2}t}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt,$

d’où l’on tire $gdt^{2}=d^{2}z,$ et, en différentiant,

$2gdtd^{2}t=d^{2}z\ ;$

en substituant pour $d^{2}t$ sa valeur ${\frac {{\text{ϐ}}dt^{3}}{ds}}$ et pour $dt^{2}$ sa valeur ${\frac {d^{2}z}{g}},$ on aura

${\frac {\text{ϐ}}{g}}={\frac {dsd^{3}z}{2\left(d^{2}z\right)^{2}}}.$