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MÉCANIQUE CÉLESTE.
Cette équation donne la loi de la résistance ϐ, nécessaire pour faire décrire au projectile une courbe déterminée.
Si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, ϐ est égal à
étant constant dans le cas où la densité du milieu est uniforme. On a alors
![{\displaystyle {\frac {\text{ϐ}}{g}}={\frac {h}{g}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}={\frac {h\,ds^{2}}{d^{2}z}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb97cba3715f80a573adec0e277dae5e32d0071)
partant
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{d^{2}x}}=2ac^{2hz},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0afbf05bb130a50ece6e6fb14d7f4c1d127d0d0)
étant une constante arbitraire, et
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Si l’on suppose nulle la résistance du milieu, ou
on aura, en intégrant, l’équation à la parabole
![{\displaystyle z=ax^{2}+bx+e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e4ad24ade20f3f7e272731add134f6d5aab064)
étant des constantes arbitraires.
L’équation différentielle
donnera
d’où l’on tire
Supposons que
et
commencent ensemble;on aura
et par conséquent
![{\displaystyle t=x{\sqrt {\frac {2a}{g}}},z=ax^{2}+bx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2412c2f87e091b8f62ea3c0a965fb4ec6b9a2e)
ce qui donne
![{\displaystyle z={\frac {gt^{2}}{2}}+bt{\sqrt {\frac {g}{2a}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351852499dfacadae10b53c044c61f8c35eaf119)
Ces trois équations renferment toute la théorie des projectiles dans le vide ; il en résulte que la vitesse est uniforme dans le sens horizontal, et que dans le sens vertical elle est la même que si le corps tombait suivant la verticale.