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MÉCANIQUE CÉLESTE.
l’équation différentielle précédente deviendra
![{\displaystyle dt={\frac {r{\sqrt {2\left(a+b\right)}}}{\sqrt {g\left[\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}\right]}}}\cdot {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\gamma ^{2}sin^{2}\theta }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5824d750fc53ae69980ff8b4d16f0b6565f6505a)
étant égal à ![{\displaystyle {\frac {a^{2}\,-\,b^{2}}{\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fadd3d298a0cd93b5de7e97855f52fcef4874a4)
L’angle
donne la coordonnée
au moyen de l’équation
![{\displaystyle z=a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5337a72ff1eb5b8e7b9c373ed79cc538917d85ba)
et la coordonnée
divisée par
exprime le cosinus de l’angle que le rayon
fait avec la verticale.
Soit
l’angle que le plan vertical qui passe par le rayon
fait avec le plan vertical qui passe par l’axe des
on aura
![{\displaystyle x={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\cos \varpi ,y={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\sin \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61eb3a80a27cf8b3c413e15aef73aebdf610bb7)
ce qui donne
![{\displaystyle xdy-ydx=\left(r^{2}-z^{2}\right)d\varpi \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b92e7a6275b4c0482872da4b0b8dac26095256)
l’équation
donnera ainsi
![{\displaystyle d\varpi ={\frac {c'dt}{r^{2}-z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9062b26318dd6e69a12f41e6154ccd18b35bbd)
En substituant pour
et
leurs valeurs précédentes en
on aura l’angle
en fonction de
ainsi l’on connaîtra, pour un temps quelconque, les deux angles
et
ce qui suffit pour déterminer la position du mobile.
Nommons demi-oscillation du mobile le temps qu’il emploie à parvenir de la plus grande à la plus petite valeur de
soit
ce temps. Pour le déterminer, il faut intégrer la valeur précédente de
depuis
jusqu’à
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on trouvera ainsi
![{\displaystyle \mathrm {T} =\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}{\sqrt {\frac {2r\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb0b0cb7d3400d0ca97828a448d5f678c9f7d63)
![{\displaystyle \times \left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\gamma ^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\gamma ^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\gamma ^{6}+\cdots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9214e9c78d373c122520a386e9e8feeb62f73bf)
Concevons le point suspendu à l’extrémité d’un fil sans masse, et fixe