On fera disparaître le terme multiplié par
au moyen de l’équation
![{\displaystyle 0={\psi '\left(s'\right)}+n\left[\psi '\left(s'\right)\right]^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f62c1e2b2e00ad0f83e0a9b65f227b35cb12d9)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle \psi \left(s'\right)=\mathrm {log} \left[h\left(s'+q\right)^{\frac {1}{n}}\right]=s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39249df0b53e333ae553bbd9fe8d21ffd6b74eea)
et
étant des arbitraires. Si l’on fait commencer
avec
on aura
et si l’on fait, pour plus de simplicité
on aura
![{\displaystyle s'=c^{ns}\,-\,1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfda011f33fb33976953408dd6736ba711131354)
,
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; l’équation différentielle (
)devient alors
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds'}{dt}}+n^{2}g{\frac {dz}{ds'}}\left(1+s'\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a936063ab331f4cc034da7f60f3ace26c219fa40)
En supposant
très-petit, nous pourrons développer le dernier terme de cette équation dans une suite ascendante par rapport aux puissances de
et qui sera de cette forme
étant plus grand que l’unité ; ce qui donne
![{\displaystyle 0={\frac {d^{3}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds'}{dt}}+ks'+ls'^{i}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc12398dea3dd0a158c0a6657f926807387c98d4)
Cette équation, multipliée par
et ensuite intégrée, devient,
étant supposé égal à ![{\displaystyle {\sqrt {k-{\frac {m^{2}}{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cdd19c369e3ff123386dd6d96ae5c4d67d116e)
![{\displaystyle e^{\frac {mt}{2}}\left(\cos \gamma t+{\sqrt {-1}}\sin \gamma t\right)\left[{\frac {ds'}{dt}}+\left({\frac {m}{2}}-\gamma \,{\sqrt {-1}}\right)s'\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7ef66494146faf9285a1cdea31ac86ad3975f0)
![{\displaystyle =-l\int \,s'dt\cdot e^{\frac {mt}{2}}\,\left(\cos \gamma t+{\sqrt {-1}}\sin \gamma t\right)-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54655862ab7c684e2e1c80b38b3edf55b88196d7)
En comparant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,