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MÉCANIQUE CÉLESTE.
12. L’isochronisme des oscillations du pendule n’étant qu’approché, il est intéressant de connaître la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir, pour arriver dans le même temps au point où son mouvement cesse, quel que soit l’arc qu’il aura décrit depuis le point le plus bas. Mais, pour embrasser ce problème dans toute sa généralité, nous supposerons, conformément à ce qui a lieu dans la nature, que le mobile se meut dans un milieu résistant. Soient
l’arc décrit depuis le point le plus bas de la courbe,
l’abscisse verticale comptée de ce point,
l’élément du temps et
la pesanteur. La force retardatrice le long de l’arc de la courbe sera : 1o la pesanteur décomposée suivant l’arc
et qui devient ainsi égale à
2o la résistance du milieu, que nous exprimerons par
étant la vitesse du mobile, et
étant une fonction quelconque de cette vitesse. La différentielle de cette vitesse sera, par le n°7, égale à
on aura donc, en faisant
constant,
(i)
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Supposons
et
en désignant par
la différence de
divisée par
et par
celle de
divisée par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {ds}{dt}}\ \ ={\frac {ds'}{dt}}\psi '\left(s'\right),\\&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}\psi '\left(s'\right)+{\frac {ds'^{2}}{dt^{2}}}\psi ''\left(s'\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c10cdd4502ef79a9c2f04899a1b6a1d12b91b2b)
et l’équation (i) deviendra
(l)
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