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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

on aura ainsi trois des six équations qui renferment les conditions de l’équilibre du système. Les seconds membres de ces équations sont les sommes des forces du système, décomposées parallèlement aux trois axes des $x,$ des $y$ et des $z\ ;$ chacune de ces sommes doit donc être nulle dans le cas de l’équilibre.

Les équations $\delta f=0,$ $\delta f'=0,$ $\delta f''=0,$ … seront encore satisfaites si l’on suppose $z,z',z'',$ … invariables, et si l’on fait

${\begin{alignedat}{2}\delta x=&y\delta \varpi ,&\qquad \delta y=&-x\delta \varpi ,\\\delta x'=&y'\delta \varpi ,&\delta y'=&-x'\delta \varpi ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots ,&\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

$\delta \varpi$ étant une variation quelconque. En substituant ces valeurs dans l’équation $\left(l\right)$, on aura

$0=\sum m\mathrm {S} \left(y{\frac {\partial s}{\partial x}}-x{\frac {\partial s}{\partial y}}\right).$

Il est visible que l’on peut changer, dans cette équation, soit les coordonnées $x,x',x'',\ldots ,$ soit les coordonnées $y,y',y'',\ldots ,$ en $z,z',z'',\ldots ,$ ce qui donnera deux autres équations qui, réunies à la précédente, formeront le système suivant d’équations

(n)

${\begin{cases}0=\sum m\mathrm {S} \left(y{\frac {\partial s}{\partial x}}-x{\frac {\partial s}{\partial y}}\right),\\0=\sum m\mathrm {S} \left(z{\frac {\partial s}{\partial x}}-x{\frac {\partial s}{\partial z}}\right),\\0=\sum m\mathrm {S} \left(y{\frac {\partial s}{\partial z}}-z{\frac {\partial s}{\partial y}}\right);\end{cases}}$

la fonction $\sum m\mathrm {S} y{\frac {\partial s}{\partial x}}$ est, par le n° 3, la somme des moments de toutes les forces parallèles à l’axe des $x,$ pour faire tourner le système autour de l’axe des $z.$ Pareillement, la fonction $\sum m\mathrm {S} x{\frac {\partial s}{\partial y}}$ est la somme des moments de toutes les forces parallèles à l’axe des $y,$ pour faire tourner le système autour de l’axe des $z,$ mais en sens contraire des premières forces ; la première des équations $(n)$ indique, par conséquent, que la