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MÉCANIQUE CÉLESTE.
changent par des nuances insensibles. Si ces mouvements éprouvent des changements brusques, la force vive est diminuée d’une quantité que l’on déterminera de cette manière. L’analyse qui nous a conduits à l’équation (P) du numéro précédent donne alors, au lieu de cette équation, la suivante
![{\displaystyle 0=\sum m\left({\frac {\delta x}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dx}{dt}}+{\frac {\delta y}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dy}{dt}}+{\frac {\delta z}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dz}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8cc047ee2e27da9fca2f206b3514313cb669aa)
![{\displaystyle -\sum m\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df5149bb6ab47606324c2e9ecc27ade1e2a5d20)
et
étant les différences de
et
d’un instant à l’autre, différences qui deviennent finies lorsque les mouvements des corps reçoivent des altérations finies dans un instant. On peut supposer dans cette équation
![{\displaystyle \delta x=dx+\Delta dx,\qquad \delta y=dy+\Delta dy,\qquad \delta z=dz+\Delta dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b18c155f9f0f87dfd06d2214da81aea1f2b52f0)
parce que, les valeurs de
se changeant, dans l’instant suivant, dans
ces valeurs de
satisfont aux conditions de la liaison des parties du système ; on aura ainsi
![{\displaystyle 0=\sum m\left[\left({\frac {dx}{dt}}+\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dx}{dt}}+\left({\frac {dy}{dt}}+\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dy}{dt}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f097ec0cce39ecf9c2dbb7344eddb4d23822f2)
![{\displaystyle \left.+\left({\frac {dz}{dt}}+\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dz}{dt}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9e4d7d3f59135ec90acf025e0f8c831cc42c9b)
![{\displaystyle -\Sigma m\left[\mathrm {P} \left(dx+\Delta dx\right)+\mathrm {Q} \left(dy+\Delta dy\right)+\mathrm {R} \left(dz+\Delta dz\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0077b06feb52d577265111070180de5cc33e0f)
Cette équation doit être intégrée comme une équation aux différences finies relative au temps
dont les variations sont infiniment petites, ainsi que les variations de
Désignons par
les intégrales finies résultant de cette intégration, pour les distinguer des intégrales finies précédentes, relatives à l’ensemble des corps du système. L’intégrale de
est visiblement la même que
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {const} =\sum m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d379c8063879148407bae7e280d766dbc6f58ae4)
![{\displaystyle +\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\left[\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fca431322aee6ddb99771828be6f1a74254a86)
![{\displaystyle -2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4505321004628f5577e13b6a298b677dfcfb76)